Exercice 1

On applique à chaque fois la relation de récurrence en remplaçant $u_{n}$ par le terme qui vient d'être calculé.

a) $u_{1}=\dfrac{2\times 5}{5+1}=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}$, puis : $$\boxed{u_{1}=\frac{5}{3} \quad ; \quad u_{2}=\frac{5}{4} \quad ; \quad u_{3}=\frac{10}{9} \quad ; \quad u_{4}=\frac{20}{19}}$$

b) $u_{1}=(-1+1)^{2}=0$, puis : $$\boxed{u_{1}=0 \quad ; \quad u_{2}=1 \quad ; \quad u_{3}=4 \quad ; \quad u_{4}=25}$$

c) $u_{1}=\dfrac{2-1}{2}=\dfrac{1}{2}$, puis : $$\boxed{u_{1}=\frac{1}{2} \quad ; \quad u_{2}=-1 \quad ; \quad u_{3}=2 \quad ; \quad u_{4}=\frac{1}{2}}$$ On remarque que les termes se répètent de trois en trois.

d) $u_{1}=1-\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$, puis : $$\boxed{u_{1}=\frac{1}{2} \quad ; \quad u_{2}=\frac{1}{3} \quad ; \quad u_{3}=\frac{1}{4} \quad ; \quad u_{4}=\frac{1}{5}}$$

e) Attention, la relation dépend aussi de $n$ : $u_{1}=0\times 3+4=4$, puis $u_{2}=1\times 4+4=8$ : $$\boxed{u_{1}=4 \quad ; \quad u_{2}=8 \quad ; \quad u_{3}=20 \quad ; \quad u_{4}=64}$$

f) De même, $u_{1}=(-1)^{2}-2=-1$ : $$\boxed{u_{1}=-1 \quad ; \quad u_{2}=-2 \quad ; \quad u_{3}=0 \quad ; \quad u_{4}=-5}$$