Exercice 2

1. Une suite est définie par récurrence lorsque chaque terme se calcule à partir du terme précédent, et de façon explicite lorsqu'il se calcule directement à partir du rang.

a) Explicite : $u_{2}=3\times 2-7=\boxed{-1}$ et $u_{5}=3\times 5-7=\boxed{8}$

b) Récurrence : $u_{1}=5$, $u_{2}=\boxed{8}$, puis $u_{3}=11$, $u_{4}=14$ et $u_{5}=\boxed{17}$

c) Explicite : $u_{2}=\dfrac{4}{3}$ et $u_{5}=\dfrac{25}{6}$, soit $\boxed{u_{2}=\frac{4}{3} \; ; \; u_{5}=\frac{25}{6}}$

d) Explicite : $u_{2}=(-1)^{2}\times 5=\boxed{5}$ et $u_{5}=(-1)^{5}\times 11=\boxed{-11}$

e) Explicite : $u_{2}=\sqrt{6}$ et $u_{5}=\sqrt{9}=3$, soit $\boxed{u_{2}=\sqrt{6} \; ; \; u_{5}=3}$

f) Récurrence : $u_{1}=2$, $u_{2}=\boxed{4}$, puis $u_{3}=8$, $u_{4}=16$ et $u_{5}=\boxed{32}$

2. Pour les suites définies de façon explicite, il suffit de remplacer $n$ par $100$ : $$\boxed{\text{les suites a), c), d) et e) permettent de calculer directement }u_{100}}$$ Pour les suites b) et f), définies par récurrence, il faudrait calculer les $100$ termes précédents : c'est tout l'intérêt d'une formule explicite.