ExercicePremière, chapitre 2 — Suites · Généralités

Exercice 3

ConjectureCalcul

Pour chacune des suites suivantes, calculer les termes de $u_{1}$ à $u_{4}$ , puis conjecturer une formule explicite pour $u_{n}$ . On vérifiera ensuite avec la formule conjecturée la valeur de $u_{0}$ , puis la relation entre $u_{n+1}$ et $u_{n}$ :

a) $\left\{ \begin{array}{ll} u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_{n}\\ u_{0}=1 \end{array} \right.$

b) $\left\{ \begin{array}{ll} u_{n+1}=u_{n}+5\\ u_{0}=1 \end{array} \right.$

c) $\left\{ \begin{array}{ll} u_{n+1}=1-\dfrac{1}{1+u_{n}}\\ u_{0}=1 \end{array} \right.$

Corrigé

a) $u_{1}=\dfrac{1}{2}$ , $u_{2}=\dfrac{1}{4}$ , $u_{3}=\dfrac{1}{8}$ , $u_{4}=\dfrac{1}{16}$ . Les dénominateurs sont les puissances de $2$ : $\boxed{u_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=\frac{1}{2^{n}}}$ Vérification : pour $n=0$ , $\dfrac{1}{2^{0}}=1=u_{0}$ , et $u_{n+1}=\dfrac{1}{2^{n+1}}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2^{n}}=\dfrac{1}{2}u_{n}$ .

b) $u_{1}=6$ , $u_{2}=11$ , $u_{3}=16$ , $u_{4}=21$ . On ajoute $5$ à chaque étape : $\boxed{u_{n}=5n+1}$ Vérification : $u_{0}=1$ , et $u_{n+1}=5(n+1)+1=5n+1+5=u_{n}+5$ .

c) $u_{1}=\dfrac{1}{2}$ , $u_{2}=\dfrac{1}{3}$ , $u_{3}=\dfrac{1}{4}$ , $u_{4}=\dfrac{1}{5}$ : $\boxed{u_{n}=\frac{1}{n+1}}$ Vérification : $u_{0}=1$ , et : $1-\frac{1}{1+u_{n}}=1-\frac{1}{1+\frac{1}{n+1}}=1-\frac{n+1}{n+2}=\frac{1}{n+2}=u_{n+1}$

Énoncé PDF, p. 1 Corrigé PDF, p. 2 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Suites réelles et limites Théorème de définition par récurrence

Thèmes

suites, suite définie par récurrence, forme explicite, comportement à l'infini

Notions

suite