Exercice 4

Pour obtenir $u_{n}$ en fonction de $u_{n-1}$, on remplace $n$ par $n-1$ dans la relation ; pour obtenir $u_{n+2}$ en fonction de $u_{n+1}$, on remplace $n$ par $n+1$. On reporte ensuite l'expression de $u_{n+1}$.

a) $u_{n}=5u_{n-1}-3$ et $u_{n+2}=5u_{n+1}-3$, d'où : $$u_{n+2}=5(5u_{n}-3)-3 \qquad\text{soit}\qquad \boxed{u_{n+2}=25u_{n}-18}$$

b) $u_{n}=4u_{n-1}-(n-4)$ et $u_{n+2}=4u_{n+1}-(n-2)$, d'où : $$u_{n+2}=4\big(4u_{n}-(n-3)\big)-(n-2)=16u_{n}-4n+12-n+2$$

c) $u_{n}=nu_{n-1}+2$ et $u_{n+2}=(n+2)u_{n+1}+2$, d'où : $$u_{n+2}=(n+2)\big[(n+1)u_{n}+2\big]+2 \qquad\text{soit}\qquad \boxed{u_{n+2}=(n+1)(n+2)u_{n}+2n+6}$$

d) $u_{n}=\dfrac{u_{n-1}^{2}}{2n+1}$ et $u_{n+2}=\dfrac{u_{n+1}^{2}}{2n+5}$, d'où : $$u_{n+2}=\frac{1}{2n+5}\left(\frac{u_{n}^{2}}{2n+3}\right)^{2} \qquad\text{soit}\qquad \boxed{u_{n+2}=\frac{u_{n}^{4}}{(2n+3)^{2}(2n+5)}}$$