Exercice 5

On étudie le signe de $u_{n+1}-u_{n}$, ou le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}$ lorsque les termes sont de signe constant.

a) $u_{n+1}-u_{n}=(n+1)^{2}+2(n+1)-n^{2}-2n=2n+3>0$ : $\boxed{\text{croissante}}$

b) $u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{4}{n+2}-\dfrac{4}{n+1}=\dfrac{4(n+1)-4(n+2)}{(n+1)(n+2)} =\dfrac{-4}{(n+1)(n+2)}<0$ : $\boxed{\text{décroissante}}$

c) $u_{n+1}-u_{n}=-5^{n+1}+5^{n}=5^{n}(1-5)=-4\times 5^{n}<0$ : $\boxed{\text{décroissante}}$

d) Tous les termes sont strictement positifs, et $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{2^{n+1}}{n+1}\times\dfrac{n}{2^{n}}=\dfrac{2n}{n+1}\geqslant 1$ car $2n\geqslant n+1$ pour $n\geqslant 1$ : $\boxed{\text{croissante}}$ (les deux premiers termes sont égaux, puis la croissance est stricte).

e) On a : $$\begin{aligned} u_{n+1}-u_{n} &=\dfrac{n-2}{2n+3}-\dfrac{n-3}{2n+1} \\ &=\dfrac{(n-2)(2n+1)-(n-3)(2n+3)}{(2n+1)(2n+3)} \\ &=\dfrac{7}{(2n+1)(2n+3)}>0 \end{aligned}$$ $\boxed{\text{croissante}}$

f) $u_{n+1}-u_{n}=2(n+1)^{2}-3(n+1)+1-2n^{2}+3n-1=4n-1>0$ pour $n\geqslant 1$ : $\boxed{\text{croissante}}$

g) $u_{n}=\dfrac{3^{n}}{2^{n-1}}=2\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}>0$ et $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{3}{2}>1$ : $\boxed{\text{croissante}}$

h) $u_{n}=\dfrac{n^{2}+1}{2n^{2}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2n^{2}}$, donc $u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{(n+1)^{2}}-\dfrac{1}{n^{2}}\right)<0$ : $\boxed{\text{décroissante}}$

i) Tous les termes sont strictement positifs, et $$\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{\sqrt{n+1}}{2^{n+1}}\times\dfrac{2^{n}}{\sqrt{n}} =\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{n+1}{n}}\leqslant\dfrac{\sqrt{2}}{2}<1$$ $\boxed{\text{décroissante}}$