Exercice 6

La relation de récurrence donne directement la différence entre deux termes consécutifs.

a) $u_{n+1}-u_{n}=n^{2}+1>0$ pour tout $n$ : $\boxed{\text{la suite est croissante}}$

b) $u_{n+1}-u_{n}=-3n-2<0$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $\boxed{\text{la suite est décroissante}}$

c) $u_{n+1}-u_{n}=n-5$, dont le signe change : $$n-5<0 \text{ si } n\leqslant 4 \qquad ; \qquad n-5=0 \text{ si } n=5 \qquad ; \qquad n-5>0 \text{ si } n\geqslant 6$$

d) Tous les termes sont strictement positifs : $v_{0}=3>0$, et si $v_{n}>0$ alors $v_{n+1}=0,8\,v_{n}>0$. On peut donc former le quotient : $$\frac{v_{n+1}}{v_{n}}=0,8<1 \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{\text{la suite est décroissante}}$$