Exercice 7

1. On part de $u_{0}=1$ sur l'axe des abscisses : on monte verticalement jusqu'à la courbe pour obtenir $u_{1}=f(u_{0})$, puis on se déplace horizontalement jusqu'à la droite d'équation $y=x$ pour reporter cette valeur sur l'axe des abscisses, et on recommence.

Numériquement : $u_{0}=1$, $u_{1}=3,5$, $u_{2}=4,75$, $u_{3}=5,375$ et $u_{4}=5,6875$.

2. Les termes semblent augmenter : on conjecture que la suite est croissante. Pour le démontrer, on introduit la suite $(v_{n})$ définie par $v_{n}=u_{n}-6$ : $$v_{n+1}=u_{n+1}-6=0,5u_{n}+3-6=0,5(u_{n}-6)=0,5\,v_{n}$$ La suite $(v_{n})$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $v_{0}=1-6=-5$, d'où $v_{n}=-5\times 0,5^{n}$ et $u_{n}=6-5\times 0,5^{n}$. Alors : $$u_{n+1}-u_{n}=-5\left(0,5^{n+1}-0,5^{n}\right)=-5\times 0,5^{n}(0,5-1)=2,5\times 0,5^{n}>0$$

3. Les termes se rapprochent de l'abscisse du point d'intersection des deux droites, que l'on obtient en résolvant $f(x)=x$ : $$0,5x+3=x \iff 3=0,5x \iff x=6$$

$$\boxed{\text{on conjecture que la limite de la suite est }6}$$ Ce que confirme l'expression $u_{n}=6-5\times 0,5^{n}$, puisque $0,5^{n}$ devient très petit.