Exercice 1

1. On lit les coordonnées en se déplaçant le long du quadrillage : d'abord un nombre de « pas » parallèlement à $\vec{\imath}$, puis parallèlement à $\vec{\jmath}$.

• $A(2\,;-1)$

• $B(3\,;1)$

• $C(4\,;2)$

• $D(1\,;2)$

• $E(0\,;2)$

• $F(2\,;0)$

• $G(-2\,;1)$

• $H(-1\,;-2)$

On remarque que $E$ est situé sur l'axe des ordonnées (son abscisse est nulle) et $F$ sur l'axe des abscisses (son ordonnée est nulle). Le repère n'étant pas orthonormé, il ne faut surtout pas lire les coordonnées « à l'horizontale et à la verticale ».

2. Les coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{AB}$ s'obtiennent par $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}$, ou directement par lecture du déplacement : $$\boxed{\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}} \qquad \boxed{\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}} \qquad \boxed{\vec{w}\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}} \qquad \boxed{\vec{z}\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}$$ Par exemple $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ avec $A(2\,;-1)$ et $B(3\,;1)$, ce qui donne bien $(3-2\,;1-(-1))=(1\,;2)$.

3. On additionne coordonnée par coordonnée, et l'on multiplie chaque coordonnée par le réel : $$\vec{u}+\vec{v}=\begin{pmatrix}1+2\\2-1\end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}$$

$$\vec{z}-2\vec{v}=\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}$$ Piège classique : dans $\vec{z}-2\vec{v}$, le facteur $2$ multiplie les deux coordonnées de $\vec{v}$, et le signe $-$ porte ensuite sur les deux résultats.

4. Par lecture : pour aller de $G$ à $D$, on avance de $3$ pas parallèlement à $\vec{\imath}$ et de $1$ pas parallèlement à $\vec{\jmath}$. Par le calcul : $$\overrightarrow{GD}\begin{pmatrix}1-(-2)\\2-1\end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}$$ On retrouve d'ailleurs $\overrightarrow{GD}=\vec{u}+\vec{v}$.