ATLAS Ouvrir dans l'atlas →

ExercicePremière, chapitre 3 — Géométrie cartésienne · Calcul vectoriel et relation de Chasles

Exercice 2

Démonstration

1. Simplifier les écritures suivantes en utilisant la relation de Chasles :

a) u⃗=AB→+BC→+CA→\vec{u}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}

b) v⃗=AB→−AC→+BC→−BA→\vec{v}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}

c) w⃗=MA→−MB→−AB→\vec{w}=\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{AB}

d) t⃗=RS→+TR→−US→+UT→\vec{t}=\overrightarrow{RS}+\overrightarrow{TR}-\overrightarrow{US}+\overrightarrow{UT}

2. Démontrer que pour tous les points AA, BB et CC : OA→−OB→+AC→=BC→\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}

3. ABCDABCD est un parallélogramme et MM un point quelconque. Montrer que : MA→−MB→+MC→−MD→=0⃗\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}=\vec{0}

Corrigé

1. On utilise la relation de Chasles AC→=AB→+BC→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}, ainsi que XY→=−YX→\overrightarrow{XY}=-\overrightarrow{YX}.

(a) u⃗=AB→+BC→⏟=AC→+CA→=AC→+CA→=AA→=0⃗\vec{u}=\underbrace{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}}_{=\overrightarrow{AC}}+\overrightarrow{CA} =\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AA}=\boxed{\vec{0}}

(b) On regroupe astucieusement. D'une part AB→−AC→=CB→\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}, d'autre part −BA→=AB→-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB} : v⃗=CB→+BC→⏟=0⃗+AB→=AB→\vec{v}=\underbrace{\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}}_{=\vec{0}}+\overrightarrow{AB}=\boxed{\overrightarrow{AB}}

(c) MA→−MB→=BA→\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BA}, donc w⃗=BA→−AB→=−AB→−AB→=−2AB→=2BA→\vec{w}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}=\boxed{-2\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{BA}} Attention : MA→−MB→\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB} vaut BA→\overrightarrow{BA} et non AB→\overrightarrow{AB} ; l'ordre compte.

(d) On réordonne : TR→+RS→=TS→\overrightarrow{TR}+\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{TS} et UT→−US→=ST→\overrightarrow{UT}-\overrightarrow{US}=\overrightarrow{ST}, donc t⃗=TS→+ST→=0⃗\vec{t}=\overrightarrow{TS}+\overrightarrow{ST}=\boxed{\vec{0}}

2. On part du membre de gauche : OA→−OB→+AC→=BA→⏟=OA→−OB→+AC→=BC→\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AC}=\underbrace{\overrightarrow{BA}}_{=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}+\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{BC} Ce qui nous donne bien l'égalité demandée. On remarque que le point OO disparaît : le résultat ne dépend pas du point choisi.

3. On regroupe deux par deux : MA→−MB→+MC→−MD→=(MA→−MB→)⏟=BA→+(MC→−MD→)⏟=DC→=BA→+DC→\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}=\underbrace{\left(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right)}_{=\overrightarrow{BA}} +\underbrace{\left(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}\right)}_{=\overrightarrow{DC}}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC} Or ABCDABCD est un parallélogramme, donc AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}, c'est-à-dire DC→=−BA→\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{BA}. On en déduit donc : BA→+DC→=BA→−BA→=0⃗\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BA}=\boxed{\vec{0}}

Énoncé PDF, p. 1Corrigé PDF, p. 2Toute la feuilleLe cours

Dans l'édifice

Espaces vectoriels et sous-espaces

Thèmes

vecteurs, relation de chasles, parallélogramme

Notions

espace vectoriel

Ouvrir dans l'atlas interactif →