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ExercicePremière, chapitre 3 — Géométrie cartésienne · Calcul vectoriel et relation de Chasles

Exercice 3

DémonstrationCalcul

Soit ABCABC un triangle quelconque.

1. Construire le point DD tel que AD→=AB→+AC→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}. Montrer que [AD][AD] et [BC][BC] ont le même milieu.

2. Construire le point EE tel que AE→=BC→\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BC}. Montrer que CC est le milieu de [ED][ED].

3. On considère les points MM et NN tels que : 3AM→−2BM→=0⃗et−2NA→+3NB→=0⃗3\overrightarrow{AM}-2\overrightarrow{BM}=\vec{0} \qquad\text{et}\qquad -2\overrightarrow{NA}+3\overrightarrow{NB}=\vec{0}

(a) Exprimer AM→\overrightarrow{AM} en fonction de AB→\overrightarrow{AB}, puis placer le point MM.

(b) En utilisant la même méthode, placer le point NN.

(c) Soit II le milieu de [AB][AB]. Exprimer IM→\overrightarrow{IM} et IN→\overrightarrow{IN} en fonction de AB→\overrightarrow{AB}, et en déduire que II est aussi le milieu de [MN][MN].

Corrigé
Figure

1. Notons I1I_1 le milieu de [AD][AD] et JJ le milieu de [BC][BC]. Alors : AI1→=12AD→=12(AB→+AC→)\overrightarrow{AI_1}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)

AJ→=AB→+12BC→=AB→+12(AC→−AB→)=12AB→+12AC→\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right) =\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} Les deux vecteurs sont égaux, donc I1=JI_1=J : [AD] et [BC] ont le meˆme milieu.\boxed{[AD] \text{ et } [BC] \text{ ont le même milieu.}} On reconnaît la propriété des diagonales du parallélogramme ABDCABDC.

2. On calcule séparément les deux vecteurs, en passant à chaque fois par AA : EC→=EA→+AC→=−BC→+AC→=−(AC→−AB→)+AC→=AB→\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC} =-\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}

CD→=CA→+AD→=−AC→+AB→+AC→=AB→\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB} On constate que EC→=CD→\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{CD}, donc C est le milieu de [ED].\boxed{C \text{ est le milieu de } [ED].}

3. (a) On exprime tout à partir du point AA : BM→=BA→+AM→=−AB→+AM→\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AM}. 3AM→−2BM→=0⃗  ⟺  3AM→−2(−AB→+AM→)=0⃗  ⟺  AM→+2AB→=0⃗3\overrightarrow{AM}-2\overrightarrow{BM}=\vec{0} \iff 3\overrightarrow{AM}-2\left(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AM}\right)=\vec{0} \iff \overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{AB}=\vec{0}

AM→=−2AB→\boxed{\overrightarrow{AM}=-2\overrightarrow{AB}} Le point MM est donc situé sur la droite (AB)(AB), du côté opposé à BB, à une distance 2AB2AB de AA.

(b) De même, NA→=−AN→\overrightarrow{NA}=-\overrightarrow{AN} et NB→=NA→+AB→=−AN→+AB→\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AB} : −2NA→+3NB→=0⃗  ⟺  2AN→−3AN→+3AB→=0⃗  ⟺  −AN→+3AB→=0⃗-2\overrightarrow{NA}+3\overrightarrow{NB}=\vec{0} \iff 2\overrightarrow{AN}-3\overrightarrow{AN}+3\overrightarrow{AB}=\vec{0} \iff -\overrightarrow{AN}+3\overrightarrow{AB}=\vec{0}

AN→=3AB→\boxed{\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{AB}}

(c) Comme II est le milieu de [AB][AB], on a AI→=12AB→\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}, donc IA→=−12AB→\overrightarrow{IA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}. Ce qui nous donne : IM→=IA→+AM→=−12AB→−2AB→=−52AB→\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AB}=\boxed{-\frac{5}{2}\overrightarrow{AB}}

IN→=IA→+AN→=−12AB→+3AB→=52AB→\overrightarrow{IN}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AN}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AB}=\boxed{\frac{5}{2}\overrightarrow{AB}} On constate que IM→=−IN→\overrightarrow{IM}=-\overrightarrow{IN}, c'est-à-dire IM→+IN→=0⃗\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}=\vec{0} : I est bien le milieu de [MN].\boxed{I \text{ est bien le milieu de } [MN].}

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