Exercice 4

1.

Construction : $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ se reporte depuis $A$ ; $I$ se place sur $[CB]$ aux deux tiers en partant de $C$ ; $F$ se place sur $[AC]$ au tiers en partant de $A$.

2. Le point de départ commun est $I$. On note d'abord que $\overrightarrow{IC}=-\overrightarrow{CI}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$.

Premier vecteur : $$\overrightarrow{IE}=\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AE} =\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC} =\underbrace{\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}}_{\text{Chasles}}=\boxed{\overrightarrow{BA}}$$

Second vecteur : $$\overrightarrow{IF}=\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF} =\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC} =\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC} =-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}=\boxed{\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}}$$

3. On constate que $\overrightarrow{IF}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{IE}$. Les vecteurs $\overrightarrow{IE}$ et $\overrightarrow{IF}$ sont donc colinéaires, et comme ils ont le point $I$ en commun : $$\boxed{\text{les points } I,\ E \text{ et } F \text{ sont alignés.}}$$ La figure le confirme : ils appartiennent tous les trois à la droite tracée en pointillés violets.