Exercice 5

1. On décompose chacun des deux vecteurs de gauche en passant par un point bien choisi : $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}\right)+\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}\right) =\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}+\underbrace{\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD}\right)}_{=\vec{0}} =\boxed{\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}}$$

2. On introduit le point $I$ dans les deux vecteurs : $$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)+\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right) =2\overrightarrow{MI}+\underbrace{\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right)}_{=\vec{0} \text{ car } I \text{ milieu}} =\boxed{2\overrightarrow{MI}}$$

3. On procède de la même manière, en introduisant cette fois le point $G$ : $$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} =3\overrightarrow{MG}+\underbrace{\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)}_{=\vec{0} \text{ par définition de } G} =\boxed{3\overrightarrow{MG}}$$

4. L'égalité étant valable pour tout point $M$, on peut choisir $M=A$. Comme $\overrightarrow{AA}=\vec{0}$ : $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AG} \qquad\text{soit}\qquad \boxed{\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)}$$ C'est la clé de l'exercice 34 : ce point $G$ n'est autre que le centre de gravité du triangle $ABC$.