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ExercicePremière, chapitre 3 — Géométrie cartésienne · Calcul vectoriel et relation de Chasles

Exercice 6

DémonstrationCalcul

On considère le triangle ABCABC ci-dessous. Le point RR appartient à la droite (AB)(AB), le point SS au segment [AC][AC] et le point TT au segment [BC][BC]. Les points ocre marquent des partages en parts égales.

Figure

On veut montrer dans cet exercice que RR, SS et TT sont alignés.

1. À partir de la figure, déterminer les valeurs des réels α\alpha, β\beta et γ\gamma tels que : AR→=α AB→AS→=β AC→BT→=γ BC→\overrightarrow{AR}=\alpha\,\overrightarrow{AB} \qquad \overrightarrow{AS}=\beta\,\overrightarrow{AC} \qquad \overrightarrow{BT}=\gamma\,\overrightarrow{BC} On prendra garde au signe de α\alpha : le point RR n'appartient pas au segment [AB][AB].

2. Montrer à l'aide de la relation de Chasles que :

(a) RS→=12AB→+13AC→\overrightarrow{RS}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC} ;

(b) AT→=25AB→+35AC→\overrightarrow{AT}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AC}.

3. En déduire une expression du vecteur RT→\overrightarrow{RT} en fonction de AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.

4. Vérifier que RS→=59RT→\overrightarrow{RS}=\dfrac{5}{9}\overrightarrow{RT}.

5. Conclure.

Corrigé

1. Sur la figure, la droite (AB)(AB) est partagée en parts égales de longueur AB2\frac{AB}{2}, et le point RR se trouve à une de ces parts de AA, mais du côté opposé à BB : le coefficient est donc négatif. Le point SS est au tiers de [AC][AC], et TT aux trois cinquièmes de [BC][BC] : α=−12β=13γ=35\boxed{\alpha=-\frac{1}{2} \qquad \beta=\frac{1}{3} \qquad \gamma=\frac{3}{5}}

2. (a) On passe par le point AA : RS→=RA→+AS→=−AR→+AS→=−(−12AB→)+13AC→=12AB→+13AC→\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{AS}=-\overrightarrow{AR}+\overrightarrow{AS} =-\left(-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\right)+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC} =\boxed{\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}} C'est ici que le signe de α\alpha intervient : c'est lui qui rend le premier coefficient positif.

(b) On passe par le point BB, puis l'on exprime BC→\overrightarrow{BC} à l'aide de AA : AT→=AB→+BT→=AB→+35BC→=AB→+35(AC→−AB→)=25AB→+35AC→\overrightarrow{AT}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BT}=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right) =\boxed{\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}}

3. RT→=RA→+AT→=12AB→+25AB→+35AC→\overrightarrow{RT}=\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{AT}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AB} +\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AC}, et 12+25=5+410=910\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{5}=\dfrac{5+4}{10}=\dfrac{9}{10} : RT→=910AB→+35AC→\boxed{\overrightarrow{RT}=\frac{9}{10}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}}

4. On multiplie chaque coefficient par 59\dfrac{5}{9} : 59RT→=59×910AB→+59×35AC→=12AB→+13AC→=RS→\frac{5}{9}\overrightarrow{RT}=\frac{5}{9}\times\frac{9}{10}\overrightarrow{AB}+\frac{5}{9}\times\frac{3}{5}\overrightarrow{AC} =\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\boxed{\overrightarrow{RS}}

5. Les vecteurs RS→\overrightarrow{RS} et RT→\overrightarrow{RT} sont colinéaires et ont l'origine RR en commun, donc les points R, S et T sont aligneˊs.\boxed{\text{les points } R,\ S \text{ et } T \text{ sont alignés.}}

Énoncé PDF, p. 2Corrigé PDF, p. 4Toute la feuilleLe cours

Dans l'édifice

Espaces vectoriels et sous-espacesFamilles libres, génératrices, bases

Thèmes

vecteurs, relation de chasles, alignement, équations de droite

Notions

espace vectoriel

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