Exercice 7

1. On applique $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}$ : $$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1-2\\4-(-3)\end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix}-3\\7\end{pmatrix}} \qquad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}5-2\\0-(-3)\end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}}$$

$$\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix}-2-(-1)\\-2-4\end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix}-1\\-6\end{pmatrix}} \qquad \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}-2-5\\-2-0\end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix}-7\\-2\end{pmatrix}}$$ Piège classique : c'est toujours « l'arrivée moins le départ », et les doubles signes doivent être écrits explicitement avant d'être simplifiés.

2. (a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-3+3\\7+3\end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix}0\\10\end{pmatrix}}$

(b) $2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{CD}=\begin{pmatrix}-6\\14\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-21\\-6\end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix}15\\20\end{pmatrix}}$

(c) $\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\begin{pmatrix}1{,}5\\1{,}5\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}-1\\-6\end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix}0{,}5\\-4{,}5\end{pmatrix}}$

3. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\begin{pmatrix}-3-1\\7-6\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-4\\1\end{pmatrix}$, et par ailleurs $\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}-2-2\\-2-(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\1\end{pmatrix}$. $$\boxed{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD} \text{ : on retrouve la relation de Chasles.}}$$