Exercice 8

1. On applique $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ :

a) $\|\vec{u}\|=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{25}=\boxed{5}$

b) $\|\vec{v}\|=\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}}=\boxed{\sqrt{5}}$

c) $\|\vec{w}\|=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=\boxed{10}$

d) $\|\vec{z}\|=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=\boxed{13}$

Attention : les coordonnées sont élevées au carré, donc leur signe disparaît. Une norme est toujours positive.

2. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}$, donc $$AB=\sqrt{16+9}=\boxed{5} \qquad BC=\sqrt{16+9}=\boxed{5} \qquad AC=\sqrt{0+36}=\boxed{6}$$ On constate que $AB=BC$, donc $\boxed{ABC \text{ est un triangle isocèle en } B.}$

Ce n'est pas un triangle rectangle : $AB^{2}+BC^{2}=25+25=50$, alors que $AC^{2}=36$.

3. $\overrightarrow{DE}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{EF}\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{DF}\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}$, donc $$DE=\sqrt{16+4}=\sqrt{20} \qquad EF=\sqrt{4+16}=\sqrt{20} \qquad DF=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}$$ D'une part $DE=EF=2\sqrt{5}$ : le triangle est isocèle en $E$. D'autre part : $$DE^{2}+EF^{2}=20+20=40=DF^{2}$$ D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en $E$ : $$\boxed{DEF \text{ est un triangle rectangle isocèle en } E.}$$ On travaille sur les carrés des longueurs, ce qui évite de manipuler les racines.