Exercice 9

1. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3-(-1)\\1-2\end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}}$

2. D'après le cours, $ABDC$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$. En notant $D(x\,;y)$ : $$\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}x-0\\y-(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix} \iff \begin{cases} x=4 \\ y+2=-1\end{cases} \iff \begin{cases} x=4 \\ y=-3\end{cases}$$

3. Milieu de $[AD]$ : $\left(\dfrac{-1+4}{2}\,;\dfrac{2-3}{2}\right)=(1{,}5\,;-0{,}5)$.

Milieu de $[BC]$ : $\left(\dfrac{3+0}{2}\,;\dfrac{1-2}{2}\right)=(1{,}5\,;-0{,}5)$. $$\boxed{\text{Les deux milieux coïncident : les diagonales se coupent en leur milieu.}}$$ C'est la propriété caractéristique du parallélogramme (le point violet sur la figure).

4. $AB=\sqrt{4^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{17}$, et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}1\\-4\end{pmatrix}$ donne $AC=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}$.

Or $[AB]$ et $[AC]$ sont deux côtés consécutifs du parallélogramme $ABDC$, et ils ont la même longueur : $$\boxed{ABDC \text{ est un losange.}}$$ On en déduit d'ailleurs que ses diagonales $(AD)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.