Exercice 10

1. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1-(-2)\\3-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}3-0\\0-(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$.

On constate que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, donc $\boxed{ABCD \text{ est un parallélogramme.}}$

2. $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{DA}\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}$, d'où : $$AB=CD=\sqrt{9+4}=\sqrt{13} \qquad\text{et}\qquad BC=DA=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$$ Les quatre côtés ont la même longueur : $\boxed{ABCD \text{ est un losange.}}$

3. $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}5\\-1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix}-1\\-5\end{pmatrix}$, donc $$AC=\sqrt{25+1}=\sqrt{26} \qquad\text{et}\qquad BD=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}$$ Un losange dont les diagonales ont la même longueur est un carré : $$\boxed{ABCD \text{ est un carré.}}$$ Vérification : pour un carré de côté $\sqrt{13}$, la diagonale doit valoir $\sqrt{13}\times\sqrt{2}=\sqrt{26}$.

4. Le centre est le milieu commun des deux diagonales : $$\Omega\left(\frac{-2+3}{2}\,;\frac{1+0}{2}\right)=\boxed{\Omega(0{,}5\,;0{,}5)}$$ Vérification avec l'autre diagonale : $\left(\frac{1+0}{2}\,;\frac{3-2}{2}\right) =(0{,}5\,;0{,}5)$.