Exercice 11

1. $\overrightarrow{MN}\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}$, donc $\dfrac{1}{2}\overrightarrow{MN}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$. En notant $A(x\,;y)$ : $$\overrightarrow{NA}\begin{pmatrix}x-2\\y-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix} \iff \begin{cases}x=3\\y=6\end{cases} \qquad\text{soit}\qquad \boxed{A(3\,;6)}$$ $\overrightarrow{MQ}\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$, donc $3\overrightarrow{MQ}\begin{pmatrix}-3\\6\end{pmatrix}$. En notant $B(x\,;y)$ : $$\overrightarrow{MB}\begin{pmatrix}x-0\\y+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\6\end{pmatrix} \iff \begin{cases}x=-3\\y=3\end{cases} \qquad\text{soit}\qquad \boxed{B(-3\,;3)}$$

2. $\overrightarrow{PA}\begin{pmatrix}3-(-9)\\6-0\end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix}12\\6\end{pmatrix}}$

$\overrightarrow{PB}\begin{pmatrix}-3-(-9)\\3-0\end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}}$

3. On calcule le déterminant : $$\det\left(\overrightarrow{PA}\,;\overrightarrow{PB}\right)=12\times 3-6\times 6=36-36=0$$ Les vecteurs $\overrightarrow{PA}$ et $\overrightarrow{PB}$ sont donc colinéaires, et comme ils partent du même point $P$ : $$\boxed{\text{les points } P,\ A \text{ et } B \text{ sont alignés.}}$$ On peut même préciser que $\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{PB}$ : le point $B$ est le milieu de $[PA]$.