Exercice 12

1. On note $G(x\,;y)$ et l'on écrit les trois vecteurs : $$\overrightarrow{GA}\begin{pmatrix}1-x\\-1-y\end{pmatrix} \quad \overrightarrow{GB}\begin{pmatrix}-1-x\\-2-y\end{pmatrix} \quad \overrightarrow{GC}\begin{pmatrix}-2-x\\2-y\end{pmatrix}$$ La relation $\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$ se traduit par le système : $$\begin{cases}(1-x)+2(-1-x)+(-2-x)=0 \\ (-1-y)+2(-2-y)+(2-y)=0\end{cases} \iff \begin{cases}-3-4x=0 \\ -3-4y=0\end{cases}$$

2. $\overrightarrow{BA}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}$, donc $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}$. En notant $D(x\,;y)$ : $$\begin{cases}x-(-1)=1\\y-(-2)=5\end{cases} \qquad\text{soit}\qquad \boxed{D(0\,;3)}$$ On remarque que $D$ est le quatrième sommet du parallélogramme $ABDC$.

3.

Conjecture : les points $B$, $G$ et $D$ semblent alignés.

Démonstration. On calcule les deux vecteurs : $$\overrightarrow{BG}\begin{pmatrix}-\frac{3}{4}+1\\-\frac{3}{4}+2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac{1}{4}\\\frac{5}{4}\end{pmatrix} \qquad\text{et}\qquad \overrightarrow{BD}\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}$$

$$\det\left(\overrightarrow{BG}\,;\overrightarrow{BD}\right)=\frac{1}{4}\times 5-1\times\frac{5}{4} =\frac{5}{4}-\frac{5}{4}=0$$ Les vecteurs sont colinéaires (on a même $\overrightarrow{BD}=4\overrightarrow{BG}$), donc $$\boxed{\text{les points } B,\ G \text{ et } D \text{ sont alignés.}}$$