Exercice 13

1. $I\left(\dfrac{-3+5}{2}\,;\dfrac{2-4}{2}\right)=\boxed{I(1\,;-1)}$

2. $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B$, c'est-à-dire que $B$ est le milieu de $[AA']$. En notant $A'(x\,;y)$ : $$\begin{cases}\dfrac{-3+x}{2}=5\\[2mm] \dfrac{2+y}{2}=-4\end{cases} \iff \begin{cases}x=13\\y=-10\end{cases} \qquad\text{soit}\qquad \boxed{A'(13\,;-10)}$$

3. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}8\\-6\end{pmatrix}$, donc $\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}\frac{16}{3}\\-4\end{pmatrix}$, et $$M\left(-3+\frac{16}{3}\,;2-4\right)=\boxed{M\left(\frac{7}{3}\,;-2\right)}$$

4. En notant $N(x\,;y)$, la relation $2\overrightarrow{NA}+3\overrightarrow{NB}=\vec{0}$ donne : $$\begin{cases}2(-3-x)+3(5-x)=0\\2(2-y)+3(-4-y)=0\end{cases} \iff \begin{cases}9-5x=0\\-8-5y=0\end{cases} \qquad\text{soit}\qquad \boxed{N\left(\frac{9}{5}\,;-\frac{8}{5}\right)}$$

5. $\overrightarrow{IM}\begin{pmatrix}\frac{7}{3}-1\\-2+1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac{4}{3}\\-1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{IN}\begin{pmatrix}\frac{9}{5}-1\\-\frac{8}{5}+1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac{4}{5}\\-\frac{3}{5}\end{pmatrix}$, d'où $$\det\left(\overrightarrow{IM}\,;\overrightarrow{IN}\right) =\frac{4}{3}\times\left(-\frac{3}{5}\right)-\frac{4}{5}\times(-1) =-\frac{4}{5}+\frac{4}{5}=0$$

Oui, on pouvait le prévoir. Les quatre points $I$, $A'$, $M$ et $N$ sont définis par des relations vectorielles ne faisant intervenir que $A$ et $B$ : chacun s'écrit sous la forme $A+k\,\overrightarrow{AB}$, et appartient donc à la droite $(AB)$. Trois points d'une même droite sont nécessairement alignés — aucun calcul n'était nécessaire.