Exercice 14

On rappelle que $\det\left(\vec{u}\,;\vec{v}\right)=xy'-x'y$, et que les vecteurs sont colinéaires si et seulement si ce déterminant est nul.

a) $\det\left(\vec{u}\,;\vec{v}\right)=3\times 4-(-6)\times(-2)=12-12=\boxed{0}$ : colinéaires, avec $\vec{v}=-2\vec{u}$ (le coefficient est négatif, donc sens contraire).

b) $\det\left(\vec{u}\,;\vec{v}\right)=5\times 3-2\times 1=\boxed{13\neq 0}$ : non colinéaires.

c) $\det\left(\vec{u}\,;\vec{v}\right)=(-4)\times(-9)-6\times 6=36-36=\boxed{0}$ : colinéaires, avec $\vec{v}=-\dfrac{3}{2}\vec{u}$, donc de sens contraire.

d) $\det\left(\vec{u}\,;\vec{v}\right)=\dfrac{1}{2}\times(-12)-2\times(-3)=-6+6=\boxed{0}$ : colinéaires, avec $\vec{v}=4\vec{u}$, donc de même sens.

e) $\det\left(\vec{u}\,;\vec{v}\right)=\sqrt{2}\times\sqrt{2}-2\times 1=2-2=\boxed{0}$ : colinéaires, avec $\vec{v}=\sqrt{2}\,\vec{u}$, donc de même sens.

f) $\det\left(\vec{u}\,;\vec{v}\right)=0\times(-3)-0\times 5=\boxed{0}$ : colinéaires, avec $\vec{v}=-\dfrac{3}{5}\vec{u}$, donc de sens contraire. Ce sont deux vecteurs « verticaux », de même direction.