Exercice 15

1. (a) $\det\left(\vec{u}\,;\vec{v}\right)=2\times\left(-\dfrac{1}{3}\right)-(-1)\times(-3)=-\dfrac{2}{3}-3 =\boxed{-\dfrac{11}{3}\neq 0}$ : non colinéaires.

(b) $\det\left(\vec{u}\,;\vec{v}\right)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{4}{5}-\dfrac{6}{5}\times\dfrac{1}{3} =\dfrac{2}{5}-\dfrac{2}{5}=\boxed{0}$ : colinéaires, avec $\vec{v}=\dfrac{12}{5}\vec{u}$.

2. On écrit à chaque fois que le déterminant est nul, puis on résout en $m$.

(a) $\det\left(\vec{u}\,;\vec{v}\right)=2\times 3-m\times 6=6-6m=0 \iff \boxed{m=1}$

(b) $\det\left(\vec{u}\,;\vec{v}\right)=(-m)\times(-3)-1\times 0=3m=0 \iff \boxed{m=0}$

(c) $\det\left(\vec{u}\,;\vec{v}\right)=4\times(-3)-(-2)\times m=-12+2m=0 \iff \boxed{m=6}$

(d) $\det\left(\vec{u}\,;\vec{v}\right)=27\times 3-2m\times 2m=81-4m^{2}=0 \iff m^{2}=\dfrac{81}{4} \iff \boxed{m=\dfrac{9}{2} \text{ ou } m=-\dfrac{9}{2}}$

Attention au dernier cas : une équation du type $m^{2}=k$ avec $k>0$ admet deux solutions opposées ; oublier la négative est l'erreur la plus fréquente.