Exercice 16

1. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}8\\8\end{pmatrix}$, donc $$\det\left(\overrightarrow{AB}\,;\overrightarrow{CD}\right)=3\times 8-8\times 3=0$$ Les vecteurs directeurs sont colinéaires : $\boxed{(AB) \text{ et } (CD) \text{ sont parallèles.}}$

Sont-elles confondues ? Il suffit de tester si $C$ appartient à $(AB)$. Or $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}1\\-4\end{pmatrix}$ et $$\det\left(\overrightarrow{AB}\,;\overrightarrow{AC}\right)=3\times(-4)-1\times 3=-15\neq 0$$

2. On calcule à chaque fois $\det\left(\overrightarrow{MN}\,;\overrightarrow{MP}\right)$.

(a) $\overrightarrow{MN}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{MP}\begin{pmatrix}-8\\-11\end{pmatrix}$ : $\;\det\left(\overrightarrow{MN}\,;\overrightarrow{MP}\right)=3\times(-11)-(-8)\times 4=-33+32=-1\neq 0$ $\boxed{\text{non alignés}}$

(b) $\overrightarrow{MN}\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{MP}\begin{pmatrix}-9\\6\end{pmatrix}$ : $\;\det\left(\overrightarrow{MN}\,;\overrightarrow{MP}\right)=3\times 6-(-9)\times(-2)=18-18=0$ $\boxed{\text{alignés}}$

(c) $\overrightarrow{MN}\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{MP}\begin{pmatrix}-3\\11\end{pmatrix}$ : $\;\det\left(\overrightarrow{MN}\,;\overrightarrow{MP}\right)=(-1)\times 11-(-3)\times 4=-11+12=1\neq 0$ $\boxed{\text{non alignés}}$

(d) $\overrightarrow{MN}\begin{pmatrix}1\\-\frac{2}{3}\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{MP}\begin{pmatrix}-2\\\frac{4}{3}\end{pmatrix}$ : $\;\det\left(\overrightarrow{MN}\,;\overrightarrow{MP}\right)=1\times\frac{4}{3}-(-2)\times\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{3}-\frac{4}{3}=0$ $\boxed{\text{alignés}}$

On prendra garde au cas c) : les valeurs sont proches de l'alignement (le déterminant vaut $1$), mais un déterminant non nul, aussi petit soit-il, suffit à conclure.