ExercicePremière, chapitre 3 — Géométrie cartésienne · Colinéarité, alignement et parallélisme

Exercice 17

Calcul

1. On donne $A(1\,;2)$ , $B(4\,;-1)$ et $C(m\,;5)$ . Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés.

2. Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles $\vec{u}\begin{pmatrix}m\\2\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}3\\m\end{pmatrix}$ sont colinéaires.

3. On donne $A(0\,;1)$ , $B(2\,;5)$ , $C(2\,;-1)$ et $D(m\,;3)$ . Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

4. Pour cette valeur de $m$ , les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles confondues ?

Corrigé

1. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}m-1\\3\end{pmatrix}$ . Les points sont alignés si et seulement si : $\det\left(\overrightarrow{AB}\,;\overrightarrow{AC}\right)=3\times 3-(m-1)\times(-3)=9+3m-3=3m+6=0 \iff \boxed{m=-2}$

2. $\det\left(\vec{u}\,;\vec{v}\right)=m\times m-3\times 2=m^{2}-6=0 \iff m^{2}=6 \iff \boxed{m=\sqrt{6} \text{ ou } m=-\sqrt{6}}$

3. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}m-2\\4\end{pmatrix}$ . Les droites sont parallèles si et seulement si : $\det\left(\overrightarrow{AB}\,;\overrightarrow{CD}\right)=2\times 4-(m-2)\times 4=8-4m+8=16-4m=0 \iff \boxed{m=4}$

4. Pour $m=4$ , on a $D(4\,;3)$ . Testons si $C(2\,;-1)$ appartient à $(AB)$ : $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}$ et $\det\left(\overrightarrow{AB}\,;\overrightarrow{AC}\right)=2\times(-2)-2\times 4=-12\neq 0$

\boxed{\text{Non : les droites sont strictement parallèles.}}

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Dans l'édifice

Familles libres, génératrices, bases Déterminant d'une matrice carrée Espaces vectoriels et sous-espaces

Thèmes

colinéarité, alignement, parallélisme, équations de droite

Notions

famille libre