Exercice 18

Partie A : démonstration vectorielle

1. $I$ étant le milieu de $[AB]$, on a $\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, donc $$\boxed{\overrightarrow{IA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}} \qquad\text{et de même}\qquad \boxed{\overrightarrow{AJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}}$$

2. On applique la relation de Chasles en passant par $A$ : $$\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} =\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\boxed{\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}}$$

3. On vient de redémontrer le théorème des milieux : la droite qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté, et le segment correspondant mesure la moitié de ce côté. La version vectorielle a l'avantage de donner les deux informations (direction et longueur) d'un seul coup.

Partie B : vérification dans un repère

4. $I\left(\dfrac{-2+4}{2}\,;\dfrac{1+3}{2}\right)=\boxed{I(1\,;2)}$ $J\left(\dfrac{-2+0}{2}\,;\dfrac{1-3}{2}\right)=\boxed{J(-1\,;-1)}$

$K\left(\dfrac{4+0}{2}\,;\dfrac{3-3}{2}\right)=\boxed{K(2\,;0)}$

5. $\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix}-2\\-3\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-4\\-6\end{pmatrix}$, donc $$2\overrightarrow{IJ}=\begin{pmatrix}-4\\-6\end{pmatrix}=\boxed{\overrightarrow{BC}}$$

6. $\overrightarrow{AI}\begin{pmatrix}1-(-2)\\2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{JK}\begin{pmatrix}2-(-1)\\0-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$.

On constate que $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{JK}$, donc $$\boxed{AIKJ \text{ est un parallélogramme.}}$$

En ocre, le parallélogramme $AIKJ$ ; en violet, la droite des milieux $(IJ)$, parallèle à $(BC)$.