Exercice 19

1. Un point appartient à $d$ si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation :

• $A(0\,;3)$ : $\;3\times 0-2\times 3+6=-6+6=0$ $\boxed{A\in d}$

• $B(2\,;6)$ : $\;3\times 2-2\times 6+6=6-12+6=0$ $\boxed{B\in d}$

• $C(-2\,;1)$ : $\;3\times(-2)-2\times 1+6=-6-2+6=-2\neq 0$ $\boxed{C\notin d}$

2. L'équation est de la forme $ax+by+c=0$ avec $a=3$ et $b=-2$. Le cours donne le vecteur directeur $\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$ : $$\boxed{\vec{u}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$$ Piège classique : on ne lit pas $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ mais bien $\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$ : les coefficients sont échangés, et l'un change de signe.

3. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2-0\\6-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ : c'est exactement le vecteur directeur trouvé, donc a fortiori colinéaire.

4. Avec l'axe des ordonnées, on fait $x=0$ : $-2y+6=0$, donc $y=3$ et le point est $\boxed{(0\,;3)}$ (c'est le point $A$).

Avec l'axe des abscisses, on fait $y=0$ : $3x+6=0$, donc $x=-2$ et le point est $\boxed{(-2\,;0)}$.

5. (a) $-x+4y-8=0$ : $a=-1$, $b=4$, donc $\boxed{\begin{pmatrix}-4\\-1\end{pmatrix}}$ (ou $\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$).

(b) $y=5$ s'écrit $0x+1y-5=0$ : $a=0$, $b=1$, donc $\boxed{\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}$ : la droite est horizontale.

(c) $x=-2$ s'écrit $1x+0y+2=0$ : $a=1$, $b=0$, donc $\boxed{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ : la droite est verticale.