Exercice 20

Méthode générale. On calcule un vecteur directeur $\overrightarrow{XY}\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}$ de la droite ; comme le vecteur directeur associé à $ax+by+c=0$ est $\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$, on prend $a=q$ et $b=-p$. On détermine enfin $c$ en injectant les coordonnées d'un point de la droite.

1. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-3\\-1\end{pmatrix}$, donc $a=-1$ et $b=3$ : l'équation est de la forme $-x+3y+c=0$. Avec $A(1\,;5)$ : $$-1+15+c=0 \iff c=-14$$

$$\boxed{(AB) : -x+3y-14=0 \quad\text{ou}\quad x-3y+14=0}$$ Vérification avec $B(-2\,;4)$ : $-2-12+14=0$.

2. $B$ et $C$ ont la même ordonnée $4$ : la droite est horizontale. $$\boxed{(BC) : y-4=0}$$

3. $A$ et $C$ ont la même abscisse $1$ : la droite est verticale. $$\boxed{(AC) : x-1=0}$$

4. $\overrightarrow{OD}\begin{pmatrix}-3\\5\end{pmatrix}$, donc $a=5$ et $b=3$ : l'équation est de la forme $5x+3y+c=0$. Avec $O(0\,;0)$, on obtient immédiatement $c=0$ : $$\boxed{(OD) : 5x+3y=0}$$ On remarque que toute droite passant par l'origine a une équation sans terme constant.