Exercice 28

1. Notons $a$ le prix d'une place adulte et $e$ celui d'une place enfant, en euros. $$\left\{\begin{array}{l} 3a+2e=37 \;\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}} \\ 2a+5e=43 \;\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \end{array}\right.$$ Combinaison linéaire : pour éliminer $e$, on multiplie $\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}}$ par $5$ et $\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}}$ par $2$. $$5\times\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}}-2\times\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \quad\text{donne :}\quad 5\times\textcolor{#9e0018}{(3a+2e)}-2\times\textcolor{#2c5680}{(2a+5e)} =5\times\textcolor{#9e0018}{37}-2\times\textcolor{#2c5680}{43}$$

$$\iff 15a+10e-4a-10e=185-86 \iff 11a=99 \iff a=9$$ En reprenant $\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}}$ : $2e=37-27=10$, donc $e=5$. $$\boxed{\text{Une place adulte coûte } 9~\text{€, une place enfant } 5~\text{€.}}$$

2. Notons $L$ la longueur et $\ell$ la largeur, en mètres. Le périmètre donne $2(L+\ell)=34$, soit $L+\ell=17$. $$\left\{\begin{array}{l} L+\ell=17 \;\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}} \\ L-\ell=5 \;\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \end{array}\right.$$ Combinaison linéaire : les coefficients de $\ell$ sont opposés. $$\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}}+\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \quad\text{donne :}\quad \textcolor{#9e0018}{(L+\ell)}+\textcolor{#2c5680}{(L-\ell)} =\textcolor{#9e0018}{17}+\textcolor{#2c5680}{5} \iff 2L=22 \iff L=11$$ Puis $\ell=17-11=6$. $$\boxed{\text{Le terrain mesure } 11~\text{m sur } 6~\text{m.}}$$

3. Notons $x$ le nombre de pièces de $2$ € et $y$ celui de pièces de $5$ €. $$\left\{\begin{array}{l} x+y=60 \;\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}} \\ 2x+5y=180 \;\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \end{array}\right.$$ Substitution : $x$ s'isole immédiatement dans $\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}}$. $$\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}} \iff \textcolor{#9e0018}{x=60-y}$$

$$2\,\textcolor{#9e0018}{x}+5y=180 \iff 2\,\textcolor{#9e0018}{(60-y)}+5y=180 \iff 120-2y+5y=180 \iff 3y=60 \iff y=20$$ Puis $x=60-20=40$. $$\boxed{\text{Il y a } 40 \text{ pièces de } 2~\text{€ et } 20 \text{ pièces de } 5~\text{€.}}$$

4. Notons $p$ l'âge du père et $f$ celui du fils, en années. $$\left\{\begin{array}{l} p=3f \;\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}} \\ p+12=2(f+12) \;\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \end{array}\right.$$ Substitution : $\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}}$ donne déjà $p$ en fonction de $f$. $$\textcolor{#9e0018}{p}+12=2(f+12) \iff \textcolor{#9e0018}{3f}+12=2f+24 \iff f=12$$ Puis $p=3\times 12=36$. $$\boxed{\text{Le fils a } 12 \text{ ans et le père } 36 \text{ ans.}}$$ Vérification : dans $12$ ans, ils auront $24$ et $48$ ans, et l'on a bien $48=2\times 24$.