Exercice 27

1. $\left\{\begin{array}{l} \dfrac{3}{2}x+\dfrac{9}{4}y=0 \;\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}} \\[2mm] \dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{2}y=\dfrac{17}{36} \;\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \end{array}\right.$ On simplifie d'abord les deux équations : $$\frac{4}{3}\times\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}} \iff 2x+3y=0 \qquad\text{et}\qquad 6\times\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \iff 2x+3y=\frac{17}{6}$$ Combinaison linéaire : en soustrayant les deux équations obtenues, tout disparaît à gauche. $$\textcolor{#2c5680}{(2x+3y)}-\textcolor{#9e0018}{(2x+3y)} =\textcolor{#2c5680}{\frac{17}{6}}-\textcolor{#9e0018}{0} \iff 0=\frac{17}{6}$$ Cette égalité est fausse : le système n'a aucune solution. $$\boxed{S=\varnothing}$$ Interprétation : les deux droites ont le même vecteur directeur mais des ordonnées à l'origine différentes : elles sont strictement parallèles, donc sans point commun.

2. $\left\{\begin{array}{l} \dfrac{5}{3}x-\dfrac{1}{4}y=\dfrac{35}{8} \;\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}} \\[2mm] \dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{20}y=\dfrac{7}{8} \;\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \end{array}\right.$ On simplifie de la même manière : $$\frac{3}{5}\times\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}} \iff x-\frac{3}{20}y=\frac{21}{8} \qquad\text{et}\qquad 3\times\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \iff x-\frac{3}{20}y=\frac{21}{8}$$ Les deux équations sont identiques : toute solution de l'une est solution de l'autre. $$\boxed{S=\left\{\left(x\,;\frac{20}{3}\left(x-\frac{21}{8}\right)\right),\ x\in\mathbb{R}\right\}}$$ Interprétation : les deux droites sont confondues, et le système admet une infinité de solutions.

3. $\left\{\begin{array}{l} x\sqrt{2}+y=4 \;\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}} \\ 2x-y\sqrt{2}=0 \;\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \end{array}\right.$ Substitution. $$\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \iff y\sqrt{2}=2x \iff \textcolor{#2c5680}{y=\frac{2x}{\sqrt{2}}=x\sqrt{2}}$$

$$x\sqrt{2}+\textcolor{#2c5680}{y}=4 \iff x\sqrt{2}+\textcolor{#2c5680}{x\sqrt{2}}=4 \iff 2x\sqrt{2}=4 \iff x=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$$ Puis $y=\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2$. $$\boxed{S=\left\{\left(\sqrt{2}\,;2\right)\right\}}$$

4. $\left\{\begin{array}{l} 3x^{2}-y^{2}=3 \;\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}} \\ x^{2}+2y^{2}=22 \;\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \end{array}\right.$ Ce système n'est pas linéaire, mais il le devient si l'on pose $$X=x^{2} \qquad\text{et}\qquad Y=y^{2}$$ Le système s'écrit alors $\left\{\begin{array}{l} 3X-Y=3 \;\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}} \\ X+2Y=22 \;\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \end{array}\right.$, que l'on résout par combinaison linéaire : $$2\times\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}}+\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \quad\text{donne :}\quad 2\times\textcolor{#9e0018}{(3X-Y)}+\textcolor{#2c5680}{(X+2Y)} =2\times\textcolor{#9e0018}{3}+\textcolor{#2c5680}{22}$$

$$\iff 6X-2Y+X+2Y=28 \iff 7X=28 \iff X=4$$ Puis $\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}}$ donne $Y=3\times 4-3=9$.

Il reste à revenir aux inconnues initiales : $x^{2}=4$ donne $x=2$ ou $x=-2$, et $y^{2}=9$ donne $y=3$ ou $y=-3$. Toutes les combinaisons conviennent : $$\boxed{S=\{(2\,;3)\,;\ (2\,;-3)\,;\ (-2\,;3)\,;\ (-2\,;-3)\}}$$ Piège classique : chaque carré fournit deux valeurs, d'où quatre couples et non un seul.

5. $\left\{\begin{array}{l} \dfrac{2}{x+1}-\dfrac{5}{y-2}=-4 \;\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}} \\[2mm] \dfrac{3}{x+1}+\dfrac{2}{y-2}=13 \;\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \end{array}\right.$ Les valeurs $x=-1$ et $y=2$ sont interdites. On pose $$X=\frac{1}{x+1} \qquad\text{et}\qquad Y=\frac{1}{y-2}$$ Le système devient $\left\{\begin{array}{l} 2X-5Y=-4 \;\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}} \\ 3X+2Y=13 \;\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \end{array}\right.$, résolu par combinaison linéaire : $$2\times\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}}+5\times\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \quad\text{donne :}\quad 2\times\textcolor{#9e0018}{(2X-5Y)}+5\times\textcolor{#2c5680}{(3X+2Y)} =2\times\textcolor{#9e0018}{(-4)}+5\times\textcolor{#2c5680}{13}$$

$$\iff 4X-10Y+15X+10Y=57 \iff 19X=57 \iff X=3$$ Puis $\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}}$ donne $2\times 3-5Y=-4$, soit $Y=2$.

Retour aux inconnues : $\dfrac{1}{x+1}=3$ donne $x+1=\dfrac{1}{3}$, soit $x=-\dfrac{2}{3}$ ; et $\dfrac{1}{y-2}=2$ donne $y-2=\dfrac{1}{2}$, soit $y=\dfrac{5}{2}$. Ces deux valeurs sont bien autorisées. $$\boxed{S=\left\{\left(-\frac{2}{3}\,;\frac{5}{2}\right)\right\}}$$