Exercice 26

7. $\left\{\begin{array}{l} 2x-\sqrt{3}\,y=0 \;\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}} \\ \sqrt{3}\,x-3y=-1 \;\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \end{array}\right.$ Substitution. $$\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}} \iff \sqrt{3}\,y=2x \iff \textcolor{#9e0018}{y=\frac{2x}{\sqrt{3}}}$$

$$\sqrt{3}\,x-3\,\textcolor{#9e0018}{y}=-1 \iff \sqrt{3}\,x-3\times\textcolor{#9e0018}{\frac{2x}{\sqrt{3}}}=-1 \iff \sqrt{3}\,x-2\sqrt{3}\,x=-1$$ en utilisant $\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$. On obtient $-\sqrt{3}\,x=-1$, donc $x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$, puis $y=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\times\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2}{3}$. $$\boxed{S=\left\{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\,;\frac{2}{3}\right)\right\}}$$

8. $\left\{\begin{array}{l} 0{,}2x+0{,}5y=4 \;\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}} \\ x-y=6 \;\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \end{array}\right.$ Substitution : $x$ est seul dans $\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}}$. $$\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \iff \textcolor{#2c5680}{x=y+6}$$

$$0{,}2\,\textcolor{#2c5680}{x}+0{,}5y=4 \iff 0{,}2\,\textcolor{#2c5680}{(y+6)}+0{,}5y=4 \iff 0{,}7y=2{,}8 \iff y=4$$ Puis $x=4+6=10$. $$\boxed{S=\{(10\,;4)\}}$$

9. $\left\{\begin{array}{l} 5x+2y=14 \;\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}} \\ 2x+5y=14 \;\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \end{array}\right.$ Combinaison linéaire : le système est symétrique, la soustraction simplifie tout. $$\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}}-\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \quad\text{donne :}\quad \textcolor{#9e0018}{(5x+2y)}-\textcolor{#2c5680}{(2x+5y)} =\textcolor{#9e0018}{14}-\textcolor{#2c5680}{14} \iff 3x-3y=0 \iff x=y$$ En reportant dans $\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}}$ : $5x+2x=14 \iff 7x=14 \iff x=2$. $$\boxed{S=\{(2\,;2)\}}$$

10. $\left\{\begin{array}{l} 3x+5y=5 \;\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}} \\ 2x-3y=2 \;\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \end{array}\right.$ Combinaison linéaire : pour éliminer $y$, on multiplie $\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}}$ par $3$ et $\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}}$ par $5$. $$3\times\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}}+5\times\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \quad\text{donne :}\quad 3\times\textcolor{#9e0018}{(3x+5y)}+5\times\textcolor{#2c5680}{(2x-3y)} =3\times\textcolor{#9e0018}{5}+5\times\textcolor{#2c5680}{2}$$

$$\iff 9x+15y+10x-15y=25 \iff 19x=25 \iff x=\frac{25}{19}$$ En reprenant $\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}}$ : $5y=5-\dfrac{75}{19}=\dfrac{20}{19}$, donc $y=\dfrac{4}{19}$. $$\boxed{S=\left\{\left(\frac{25}{19}\,;\frac{4}{19}\right)\right\}}$$

11. $\left\{\begin{array}{l} 3x+y=5 \;\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}} \\ 6x+2y=10 \;\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \end{array}\right.$ Combinaison linéaire. $$\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}}-2\times\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}} \quad\text{donne :}\quad \textcolor{#2c5680}{(6x+2y)}-2\times\textcolor{#9e0018}{(3x+y)} =\textcolor{#2c5680}{10}-2\times\textcolor{#9e0018}{5} \iff 0=0$$ L'égalité obtenue est toujours vraie : la seconde équation n'apporte aucune information nouvelle, elle est simplement le double de la première. Toute solution de $\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}}$ convient : $$\boxed{S=\left\{(x\,;5-3x),\ x\in\mathbb{R}\right\}}$$ Interprétation géométrique : les deux équations décrivent une même droite. Les droites sont confondues, et le système admet une infinité de solutions.

12. $\left\{\begin{array}{l} \dfrac{3}{2}x-\dfrac{5}{3}y=1 \;\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}} \\[2mm] \dfrac{x+2y}{7}=1 \;\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \end{array}\right.$ Substitution, après avoir chassé le dénominateur de $\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}}$. $$\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \iff x+2y=7 \iff \textcolor{#2c5680}{x=7-2y}$$

$$\frac{3}{2}\,\textcolor{#2c5680}{x}-\frac{5}{3}y=1 \iff \frac{3}{2}\,\textcolor{#2c5680}{(7-2y)}-\frac{5}{3}y=1 \iff \frac{21}{2}-3y-\frac{5}{3}y=1 \iff -\frac{14}{3}y=-\frac{19}{2}$$ donc $y=\dfrac{19}{2}\times\dfrac{3}{14}=\dfrac{57}{28}$, puis $x=7-\dfrac{57}{14}=\dfrac{41}{14}$. $$\boxed{S=\left\{\left(\frac{41}{14}\,;\frac{57}{28}\right)\right\}}$$