Exercice 25

On adopte les notations du cours : chaque équation est repérée par $\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}}$ ou $\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}}$, et l'expression que l'on remplace est mise en couleur.

1. $\left\{\begin{array}{l} 2x+y=-2 \;\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}} \\ 5x+4y=1 \;\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \end{array}\right.$ Substitution : dans $\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}}$, le $y$ est seul, on l'isole. $$\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}} \iff \textcolor{#9e0018}{y=-2-2x}$$ On injecte cette expression dans $\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}}$ : $$5x+4\,\textcolor{#9e0018}{y}=1 \iff 5x+4\,\textcolor{#9e0018}{(-2-2x)}=1 \iff 5x-8-8x=1 \iff -3x=9 \iff x=-3$$ On revient à l'expression isolée : $y=-2-2\times(-3)=4$. $$\boxed{S=\{(-3\,;4)\}}$$

2. $\left\{\begin{array}{l} 4x-5y=2 \;\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}} \\ -x+3y=3 \;\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \end{array}\right.$ Substitution : c'est le $x$ de $\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}}$ qui est le plus simple à isoler. $$\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \iff \textcolor{#2c5680}{x=3y-3}$$

$$4\,\textcolor{#2c5680}{x}-5y=2 \iff 4\,\textcolor{#2c5680}{(3y-3)}-5y=2 \iff 12y-12-5y=2 \iff 7y=14 \iff y=2$$ Puis $x=3\times 2-3=3$. $$\boxed{S=\{(3\,;2)\}}$$

3. $\left\{\begin{array}{l} -x+20y=1 \;\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}} \\ 2x-60y=-3 \;\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \end{array}\right.$ Combinaison linéaire : en ajoutant deux fois $\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}}$ à $\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}}$, les $x$ disparaissent. $$\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}}+2\times\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}} \quad\text{donne :}\quad \textcolor{#2c5680}{2x-60y}+2\times\textcolor{#9e0018}{(-x+20y)} =\textcolor{#2c5680}{(-3)}+2\times\textcolor{#9e0018}{1}$$

$$\iff 2x-60y-2x+40y=-1 \iff -20y=-1 \iff y=\frac{1}{20}$$ En reprenant $\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}}$ : $-x+20\times\frac{1}{20}=1 \iff -x+1=1 \iff x=0$. $$\boxed{S=\left\{\left(0\,;\frac{1}{20}\right)\right\}}$$

4. $\left\{\begin{array}{l} 12x+7y=41 \;\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}} \\ 4x-15y=239 \;\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \end{array}\right.$ Combinaison linéaire : $12=3\times 4$, donc retrancher trois fois $\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}}$ élimine les $x$. $$\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}}-3\times\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \quad\text{donne :}\quad \textcolor{#9e0018}{12x+7y}-3\times\textcolor{#2c5680}{(4x-15y)} =\textcolor{#9e0018}{41}-3\times\textcolor{#2c5680}{239}$$

$$\iff 12x+7y-12x+45y=41-717 \iff 52y=-676 \iff y=-13$$ En reprenant $\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}}$ : $12x+7\times(-13)=41 \iff 12x=132 \iff x=11$. $$\boxed{S=\{(11\,;-13)\}}$$

5. $\left\{\begin{array}{l} 3x+5y=2 \;\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}} \\[1mm] x-\dfrac{5}{2}y=1 \;\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \end{array}\right.$ Substitution : le $x$ de $\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}}$ n'a pas de facteur. $$\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \iff \textcolor{#2c5680}{x=1+\frac{5}{2}y}$$

$$3\,\textcolor{#2c5680}{x}+5y=2 \iff 3\,\textcolor{#2c5680}{\left(1+\frac{5}{2}y\right)}+5y=2 \iff 3+\frac{15}{2}y+5y=2 \iff \frac{25}{2}y=-1 \iff y=-\frac{2}{25}$$ Puis $x=1+\dfrac{5}{2}\times\left(-\dfrac{2}{25}\right)=1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}$. $$\boxed{S=\left\{\left(\frac{4}{5}\,;-\frac{2}{25}\right)\right\}}$$

6. $\left\{\begin{array}{l} \dfrac{1}{10}x+\dfrac{1}{20}y=1 \;\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}} \\[2mm] \dfrac{2}{5}x-\dfrac{1}{10}y=10 \;\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \end{array}\right.$ On commence par chasser les dénominateurs : $$20\times\textcolor{#c61e2d}{\textcircled{e_{1}}} \iff 2x+y=20 \qquad\text{et}\qquad 10\times\textcolor{#00549f}{\textcircled{e_{2}}} \iff 4x-y=100$$ Combinaison linéaire : les coefficients de $y$ sont déjà opposés, il suffit d'additionner. $$\textcolor{#9e0018}{(2x+y)}+\textcolor{#2c5680}{(4x-y)} =\textcolor{#9e0018}{20}+\textcolor{#2c5680}{100} \iff 6x=120 \iff x=20$$ Puis $2\times 20+y=20 \iff y=-20$. $$\boxed{S=\{(20\,;-20)\}}$$