Exercice 24

Méthode. On compare d'abord les vecteurs directeurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ à l'aide du déterminant. S'il est non nul, les droites sont sécantes et l'on cherche le point d'intersection ; s'il est nul, on teste si $C$ appartient à $(AB)$ pour distinguer « strictement parallèles » de « confondues ».

1. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\6\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}2\\12\end{pmatrix}$ : $\;\det\left(\overrightarrow{AB}\,;\overrightarrow{CD}\right)=1\times 12-2\times 6=0$ : les droites sont parallèles.

$\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-2\\-7\end{pmatrix}$ : $\;\det\left(\overrightarrow{AB}\,;\overrightarrow{AC}\right)=1\times(-7)-(-2)\times 6=5\neq 0$, donc $C\notin(AB)$. $$\boxed{\text{Droites strictement parallèles : aucun point d'intersection.}}$$

2. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-10\\-10\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}60\\60\end{pmatrix}$ : $\;\det\left(\overrightarrow{AB}\,;\overrightarrow{CD}\right)=(-10)\times 60-60\times(-10)=0$ : les droites sont parallèles.

$\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-45\\-45\end{pmatrix}$ : $\;\det\left(\overrightarrow{AB}\,;\overrightarrow{AC}\right)=(-10)\times(-45)-(-45)\times(-10)=450-450=0$, donc $C\in(AB)$. $$\boxed{\text{Droites confondues : elles ont une infinité de points communs.}}$$

3. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-285\\84\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}-2\\-90\end{pmatrix}$ : $$\det\left(\overrightarrow{AB}\,;\overrightarrow{CD}\right)=(-285)\times(-90)-(-2)\times 84=25\,650+168=25\,818\neq 0$$ $\boxed{\text{Les droites sont sécantes.}}$ Déterminons leur point d'intersection.

Équation de $(AB)$ : on simplifie $\overrightarrow{AB}$ par $3$, ce qui donne $\begin{pmatrix}-95\\28\end{pmatrix}$, donc $a=28$ et $b=95$. Avec $A(462\,;-70)$ : $$28\times 462+95\times(-70)+c=12\,936-6\,650+c=0 \iff c=-6\,286$$

Équation de $(CD)$ : on simplifie $\overrightarrow{CD}$ par $-2$, ce qui donne $\begin{pmatrix}1\\45\end{pmatrix}$, donc $a=45$ et $b=-1$. Avec $C(88\,;312)$ : $$45\times 88-312+c=3\,960-312+c=0 \iff c=-3\,648$$

Résolution du système, par substitution : la seconde équation donne $y=45x-3\,648$, d'où $$28x+95(45x-3\,648)-6\,286=0 \iff 28x+4\,275x-346\,560-6\,286=0 \iff 4\,303x=352\,846$$

$$\boxed{\text{Les droites se coupent au point } (82\,;42).}$$ Vérification dans la première équation : $28\times 82+95\times 42=2\,296+3\,990=6\,286$.