Exercice 23

1. Le vecteur directeur $\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}$ doit être de la forme $\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$, donc $b=-3$ et $a=5$ : l'équation est $5x-3y+c=0$. Avec $A(2\,;-1)$ : $$5\times 2-3\times(-1)+c=10+3+c=0 \iff c=-13$$

2. Deux droites parallèles ont le même vecteur directeur, donc les mêmes coefficients $a$ et $b$ : l'équation cherchée est de la forme $2x-7y+c=0$. Avec $B(-1\,;4)$ : $$-2-28+c=0 \iff c=30$$

$$\boxed{2x-7y+30=0}$$ C'est la méthode la plus rapide : on recopie les deux premiers coefficients, et l'on ne recalcule que le troisième.

3. $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}4\\8\end{pmatrix}$, que l'on simplifie en $\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$. Donc $b=-1$ et $a=2$ : l'équation est $2x-y+c=0$. Avec $C(0\,;-3)$ : $$0+3+c=0 \iff c=-3$$

$$\boxed{(CD) : 2x-y-3=0}$$ Vérification avec $D(4\,;5)$ : $8-5-3=0$.

4. Même direction, donc équation de la forme $2x-y+c=0$. Avec $E(1\,;1)$ : $$2-1+c=0 \iff c=-1 \qquad\text{soit}\qquad \boxed{2x-y-1=0}$$

5. $F(-2\,;-7)$ : $\;2\times(-2)-(-7)-3=-4+7-3=0$, donc $\boxed{F \text{ appartient bien à } (CD).}$