Exercice 33

1. On développe le membre de droite : $$(x-y)^{2}+4xy=x^{2}-2xy+y^{2}+4xy=x^{2}+2xy+y^{2}=\boxed{(x+y)^{2}}$$ L'égalité est donc vraie pour tous réels $x$ et $y$.

2. On sait que $x-y=6$ et $xy=216$. L'égalité précédente donne : $$(x+y)^{2}=(x-y)^{2}+4xy=6^{2}+4\times 216=36+864=900$$ Donc $x+y=30$ ou $x+y=-30$ : un carré égal à $900$ admet deux racines opposées.

Premier cas : $\begin{cases}x+y=30\\x-y=6\end{cases}$ donne $2x=36$, soit $x=18$ et $y=12$.

Second cas : $\begin{cases}x+y=-30\\x-y=6\end{cases}$ donne $2x=-24$, soit $x=-12$ et $y=-18$. $$\boxed{\text{Les deux couples solutions sont } (18\,;12) \text{ et } (-12\,;-18).}$$ Vérification du second : $(-12)-(-18)=6$ et $(-12)\times(-18)=216$.

Piège classique : oublier la racine négative revient à perdre la moitié des solutions.

3. Notons $x$ et $y$ les dimensions du terrain. Le périmètre donne $2(x+y)=44$, soit $x+y=22$, et l'aire donne $xy=120$. On utilise l'égalité sous la forme annoncée : $$(x-y)^{2}=(x+y)^{2}-4xy=22^{2}-4\times 120=484-480=4$$ Donc $x-y=2$ (on peut choisir $x\geqslant y$, ce qui écarte la valeur $-2$). Il reste : $$\begin{cases}x+y=22\\x-y=2\end{cases} \iff \begin{cases}x=12\\y=10\end{cases}$$

$$\boxed{\text{Le terrain mesure } 12~\text{m sur } 10~\text{m.}}$$ Vérification : périmètre $2\times 22=44$ m et aire $12\times 10=120$ m$^{2}$.

4. On procède de la même manière avec $x+y=22$ et $xy=150$ : $$(x-y)^{2}=484-4\times 150=484-600=-116$$ Or un carré ne peut pas être négatif : $$\boxed{\text{Un tel terrain n'existe pas.}}$$ Interprétation. À périmètre fixé, l'aire d'un rectangle est maximale lorsqu'il est carré. Ici, le carré de périmètre $44$ m a pour côté $11$ m et pour aire $121$ m$^{2}$ : aucune aire supérieure n'est atteignable, et $150>121$.