ExercicePremière, chapitre 3 — Géométrie cartésienne · Exercices de synthèse

Exercice 32

QCMDémonstrationCalcul

Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Déterminer laquelle et justifier.

	Réponse A	Réponse B	Réponse C
1. Les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}-6\\15\end{pmatrix}$ sont	colinéaires	non colinéaires	de même sens
2. Si $A(1\,;2)$ et $B(4\,;8)$ , alors $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées	$(3\,;6)$	$(5\,;10)$	$(-3\,;-6)$
3. La norme du vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}$ vaut	$1$	$5$	$7$
4. Un vecteur directeur de la droite d'équation $5x-2y+1=0$ est	$\begin{pmatrix}5\\-2\end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}$
5. La droite d'équation $y=4$ est	parallèle à $(Ox)$	parallèle à $(Oy)$	passe par l'origine
6. Le système $\begin{cases} x+y=5 \\ 2x+2y=10\end{cases}$ admet	une unique solution	aucune solution	une infinité de solutions
7. Les points $A(1\,;1)$ , $B(3\,;5)$ et $C(0\,;-1)$ sont	alignés	non alignés	confondus
8. Si $\det\left(\vec{u}\,;\vec{v}\right)=7$ , alors deux droites de vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont	parallèles	sécantes	confondues

Corrigé

1. Réponse A. $\det\left(\vec{u}\,;\vec{v}\right)=2\times 15-(-6)\times(-5)=30-30=0$ : les vecteurs sont colinéaires. La réponse C est fausse car $\vec{v}=-3\vec{u}$ : le coefficient étant négatif, ils sont de sens contraire.

2. Réponse A. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4-1\\8-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}$ . La réponse B additionne les coordonnées au lieu de les soustraire, la réponse C inverse le sens du vecteur.

3. Réponse B. $\|\vec{u}\|=\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ .

4. Réponse B. Avec $a=5$ et $b=-2$ , le vecteur directeur est $\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}$ . La réponse A est le piège classique (lire $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ ).

5. Réponse A. Tous les points de cette droite ont la même ordonnée $4$ : la droite est horizontale, donc parallèle à l'axe des abscisses. Elle ne passe pas par l'origine, puisque $0\neq 4$ .

6. Réponse C. La seconde équation est exactement le double de la première : les deux droites sont confondues, et tout point de la droite $x+y=5$ est solution.

7. Réponse A. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}$ donnent $\det\left(\overrightarrow{AB}\,;\overrightarrow{AC}\right)=2\times(-2)-(-1)\times 4=-4+4=0$ : les points sont alignés.

8. Réponse B. Un déterminant non nul signifie que les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires, donc que les droites ne sont pas parallèles : elles sont sécantes.

Énoncé PDF, p. 11 Corrigé PDF, p. 26 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Déterminant d'une matrice carrée

Thèmes

vecteurs, coordonnées, norme et distance, colinéarité, alignement, parallélisme, équations de droite, vecteur directeur

Notions

espace vectoriel, famille libre