Exercice 31

Partie A : trois droites

1. On lit $\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$ sur chaque équation : $$d : \boxed{\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}} \qquad d' : \boxed{\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}} \qquad d'' : \boxed{\begin{pmatrix}-4\\6\end{pmatrix}}$$

2. $\det\left(\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix};\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\right) =-2\times 1-4\times 3=-14\neq 0$, donc $\boxed{d \text{ et } d' \text{ sont sécantes.}}$

La seconde équation donne $x=4y-10$. En reportant dans la première : $$3(4y-10)+2y-12=0 \iff 12y-30+2y-12=0 \iff 14y=42 \iff y=3$$ puis $x=4\times 3-10=2$. $$\boxed{K(2\,;3)}$$ Vérification : $3\times 2+2\times 3-12=6+6-12=0$.

3. $\det\left(\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix};\begin{pmatrix}-4\\6\end{pmatrix}\right) =-2\times 6-(-4)\times 3=-12+12=0$ : les droites $d$ et $d''$ sont parallèles.

Sont-elles confondues ? En multipliant l'équation de $d$ par $2$, on obtient $6x+4y-24=0$, alors que $d''$ a pour équation $6x+4y+5=0$. Les constantes diffèrent, donc $$\boxed{d \text{ et } d'' \text{ sont strictement parallèles.}}$$

4. Le vecteur $\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ impose $b=-1$ et $a=1$ : l'équation est $x-y+c=0$. Avec $K(2\,;3)$ : $$2-3+c=0 \iff c=1 \qquad\text{soit}\qquad \boxed{x-y+1=0}$$

Partie B : une application

5. Le coût est composé d'une part fixe et d'une part proportionnelle au nombre de séances : $$\boxed{y_A=3n+12} \qquad\text{et}\qquad \boxed{y_B=1{,}5n+30}$$

6. Ce sont deux équations réduites de droites, de coefficients directeurs respectifs $3$ et $1{,}5$, donc de vecteurs directeurs $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}1\\1{,}5\end{pmatrix}$ : $$\det\left(\vec{u}\,;\vec{v}\right)=1\times 1{,}5-1\times 3=-1{,}5\neq 0 \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\text{les droites sont sécantes.}}$$

7. Les deux formules coûtent le même prix lorsque $y_A=y_B$ : $$3n+12=1{,}5n+30 \iff 1{,}5n=18 \iff n=12$$ puis $y_A=3\times 12+12=48$. $$\boxed{\text{Les deux formules reviennent au même pour } 12 \text{ séances, soit } 48~\text{€.}}$$

8. Pour $n=20$ séances : $$y_A=3\times 20+12=72~\text{€} \qquad\text{et}\qquad y_B=1{,}5\times 20+30=60~\text{€}$$

$$\boxed{\text{Il faut conseiller la formule B, moins chère de } 12~\text{€.}}$$ Lecture graphique : au-delà de $12$ séances, la droite de la formule B passe en dessous de celle de la formule A. La formule A n'est intéressante que pour une pratique occasionnelle.