Exercice 30

Partie A : nature du quadrilatère $ABCD$

1. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1-(-3)\\3-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}5-1\\-1-(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$.

On constate que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, donc $\boxed{ABCD \text{ est un parallélogramme.}}$

2. $AB=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx 4{,}47$ et, avec $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}4\\-4\end{pmatrix}$, $\;BC=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\approx 5{,}66$.

Ces deux côtés consécutifs n'ont pas la même longueur : $$\boxed{ABCD \text{ n'est pas un losange.}}$$

3. $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}8\\-2\end{pmatrix}$ donne $AC=\sqrt{68}=2\sqrt{17}\approx 8{,}25$, et $\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix}0\\-6\end{pmatrix}$ donne $BD=6$.

Les diagonales n'ont pas la même longueur : $$\boxed{ABCD \text{ n'est pas un rectangle : c'est un parallélogramme quelconque.}}$$

4. Le centre est le milieu de $[AC]$ : $$I\left(\frac{-3+5}{2}\,;\frac{1-1}{2}\right)=\boxed{I(1\,;0)}$$ Vérification avec $[BD]$ : $\left(\frac{1+1}{2}\,;\frac{3-3}{2}\right)=(1\,;0)$.

Partie B : équations de droites

5. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$ se simplifie en $\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$, donc $b=-2$ et $a=1$ : l'équation est $x-2y+c=0$. Avec $A(-3\,;1)$ : $$-3-2+c=0 \iff c=5 \qquad\text{soit}\qquad \boxed{(AB) : x-2y+5=0}$$ Vérification avec $B(1\,;3)$ : $1-6+5=0$.

6. $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$, donc $(CD)$ a le même vecteur directeur et son équation est de la forme $x-2y+c=0$. Avec $D(1\,;-3)$ : $$1+6+c=0 \iff c=-7 \qquad\text{soit}\qquad \boxed{(CD) : x-2y-7=0}$$ Les deux équations ont les mêmes coefficients $a$ et $b$ mais des constantes différentes ($5\neq -7$) : $$\boxed{(AB) \text{ et } (CD) \text{ sont strictement parallèles.}}$$ On retrouve bien le parallélisme des côtés opposés du parallélogramme.

7. $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}8\\-2\end{pmatrix}$ se simplifie en $\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}$, donc $b=-4$ et $a=-1$ : l'équation est $-x-4y+c=0$. Avec $A(-3\,;1)$ : $3-4+c=0$, donc $c=1$ : $$\boxed{(AC) : x+4y-1=0}$$ $B$ et $D$ ont la même abscisse $1$ : la droite est verticale. $$\boxed{(BD) : x-1=0}$$

8. $E(9\,;7)$ : $\;9-14+5=0$, donc $\boxed{E\in(AB)}$.

$F(2\,;4)$ : $\;2-8+5=-1\neq 0$, donc $\boxed{F\notin(AB)}$.

9. On cherche le point de $(AB)$ tel que $y=0$ : $$x-2\times 0+5=0 \iff x=-5 \qquad\text{soit}\qquad \boxed{(-5\,;0)}$$

Partie C : intersection des diagonales

10. Notons $\vec{u}\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}$ un vecteur directeur de $(AC)$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$ un vecteur directeur de $(BD)$ : $$\det\left(\vec{u}\,;\vec{v}\right)=4\times 1-0\times(-1)=4\neq 0 \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\text{les droites sont sécantes.}}$$

11. Le système s'écrit $\begin{cases}x+4y-1=0\\x-1=0\end{cases}$. La seconde équation donne directement $x=1$, et en reportant dans la première : $$1+4y-1=0 \iff 4y=0 \iff y=0$$

12. C'est exactement le point $I$ trouvé à la question 4 : $$\boxed{\text{les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.}}$$ La résolution du système et le calcul du milieu constituent donc deux méthodes indépendantes qui se confirment mutuellement.