Exercice 29 La relation d'Al-Kashi

1. La hauteur issue de $A$ coupe perpendiculairement $(BC)$ en $H$. Les angles $\beta$ et $\gamma$ étant aigus, le point $H$ appartient bien au segment $[BC]$.

2. (a) Le triangle $ABH$ est rectangle en $H$. Dans ce triangle, l'angle en $B$ vaut $\beta$, le côté opposé est $[AH]$ et l'hypoténuse est $[AB]$, de longueur $c$. Donc : $$\sin(\beta)=\frac{AH}{AB}=\frac{AH}{c} \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{AH=c\sin(\beta)}$$

(b) L'aire d'un triangle vaut la moitié du produit d'un côté par la hauteur associée. En prenant $[BC]$ comme base, de longueur $a$, et $AH$ comme hauteur : $$\mathcal{A}=\frac{1}{2}\times BC\times AH=\frac{1}{2}\times a\times c\sin(\beta) =\boxed{\frac{1}{2}ac\sin(\beta)}$$

(c) On procède de la même manière avec les hauteurs issues de $B$ puis de $C$, ce qui fait intervenir les deux autres angles : $$\mathcal{A}=\frac{1}{2}ab\sin(\gamma) \qquad \text{et} \qquad \mathcal{A}=\frac{1}{2}bc\sin(\alpha)$$ Ces trois expressions désignent la même aire, donc : $$\frac{1}{2}ac\sin(\beta)=\frac{1}{2}ab\sin(\gamma)=\frac{1}{2}bc\sin(\alpha)$$ Il suffit alors de diviser les trois membres par $\dfrac{1}{2}abc$, qui est non nul puisque le triangle n'est pas plat : $$\boxed{\frac{\sin(\alpha)}{a}=\frac{\sin(\beta)}{b}=\frac{\sin(\gamma)}{c}}$$

3. (a) Toujours dans le triangle $ABH$ rectangle en $H$, le côté adjacent à $\beta$ est $[BH]$ : $$\cos(\beta)=\frac{BH}{AB}=\frac{BH}{c} \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{BH=c\cos(\beta)}$$ Comme $H$ appartient au segment $[BC]$, on a $CH=BC-BH$, soit : $$\boxed{CH=a-c\cos(\beta)}$$

(b) Le triangle $AHC$ est rectangle en $H$, d'hypoténuse $[AC]$ de longueur $b$ : $$\boxed{AC^{2}=AH^{2}+CH^{2}} \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad b^{2}=AH^{2}+CH^{2}$$

(c) On remplace $AH$ et $CH$ par les expressions obtenues : $$\begin{aligned} b^{2} &= \left(c\sin(\beta)\right)^{2}+\left(a-c\cos(\beta)\right)^{2} \\ &= c^{2}\sin^{2}(\beta)+a^{2}-2ac\cos(\beta)+c^{2}\cos^{2}(\beta) \\ &= c^{2}\underbrace{\left(\sin^{2}(\beta)+\cos^{2}(\beta)\right)}_{=\,1} +a^{2}-2ac\cos(\beta) \end{aligned}$$

$$\boxed{b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos(\beta)}$$ C'est la relation fondamentale du chapitre qui fait disparaître d'un coup les deux termes en $c^{2}$.

4. On connaît $a=8$, $c=3$ et l'angle $\alpha=\widehat{BAC}=83^{\circ}$. La formule d'Al-Kashi, écrite cette fois relativement au sommet $A$, s'écrit : $$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha)$$ soit, en remplaçant : $$64=b^{2}+9-6b\cos(83^{\circ}) \iff b^{2}-6\cos(83^{\circ})\,b-55=0$$ C'est une équation du second degré en $b$, avec $6\cos(83^{\circ})\approx 0{,}7312$ : $$\Delta\approx 0{,}7312^{2}+4\times 55\approx 220{,}53 \qquad \text{d'où} \qquad \sqrt{\Delta}\approx 14{,}850$$

$$\boxed{AC\approx 7{,}79}$$ On détermine ensuite les angles par la loi des sinus : $$\frac{\sin(\gamma)}{c}=\frac{\sin(\alpha)}{a} \quad \Longrightarrow \quad \sin(\gamma)=\frac{3\sin(83^{\circ})}{8}\approx 0{,}3722$$ Le côté $a=8$ étant le plus grand, l'angle $\alpha$ est le plus grand du triangle : $\gamma$ est donc aigu, et la calculatrice donne directement : $$\boxed{\widehat{ACB}\approx 21{,}9^{\circ}}$$ Enfin, la somme des angles d'un triangle vaut $180^{\circ}$ : $$\widehat{ABC}\approx 180-83-21{,}9 \qquad \text{soit} \qquad \boxed{\widehat{ABC}\approx 75{,}1^{\circ}}$$

5. Si $\beta=\dfrac{\pi}{2}$, alors $\cos(\beta)=0$ et le dernier terme disparaît : $$b^{2}=a^{2}+c^{2}$$ On retrouve exactement le théorème de Pythagore dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, l'hypoténuse étant alors $[AC]$. C'est ce qui justifie le nom de « théorème de Pythagore généralisé » : le terme $-2ac\cos(\beta)$ mesure précisément l'écart à l'angle droit. Il est négatif si $\beta$ est aigu (et alors $b^{2}<a^{2}+c^{2}$), positif si $\beta$ est obtus.