Exercice 4

1. On développe l'identité remarquable $(u+v)^{2}=u^{2}+2uv+v^{2}$ : $$A=\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}+2\mathrm{e}^{x}+1=\boxed{\mathrm{e}^{2x}+2\mathrm{e}^{x}+1}$$

2. On reconnaît $(u-v)(u+v)=u^{2}-v^{2}$ : $$B=\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}-1^{2}=\boxed{\mathrm{e}^{2x}-1}$$

3. On développe les deux carrés séparément : $$\begin{aligned} \left(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}\right)^{2} &= \mathrm{e}^{2x}+2\underbrace{\mathrm{e}^{x}\mathrm{e}^{-x}}_{=\,1}+\mathrm{e}^{-2x} = \mathrm{e}^{2x}+2+\mathrm{e}^{-2x} \\ \left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right)^{2} &= \mathrm{e}^{2x}-2+\mathrm{e}^{-2x} \end{aligned}$$ En soustrayant, tous les termes en $\mathrm{e}^{2x}$ et $\mathrm{e}^{-2x}$ disparaissent : $$C=\left(\mathrm{e}^{2x}+2+\mathrm{e}^{-2x}\right)-\left(\mathrm{e}^{2x}-2+\mathrm{e}^{-2x}\right)=\boxed{4}$$

4. $$D=\mathrm{e}^{2x}-3\mathrm{e}^{x}+2\mathrm{e}^{x}-6=\boxed{\mathrm{e}^{2x}-\mathrm{e}^{x}-6}$$

5. On reconnaît à nouveau $u^{2}-v^{2}$ : $$E=\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}-\left(\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}=\boxed{\mathrm{e}^{2x}-\mathrm{e}^{-2x}}$$

La clé de cet exercice est l'égalité $\mathrm{e}^{x}\times\mathrm{e}^{-x}=\mathrm{e}^{0}=1$, qui fait disparaître les doubles produits.