Feuille d'exercicesPremière, chapitre 8

Fonction exponentielle

30 exercices corrigés · 11 17 2

Propriétés algébriques de l'exponentielle

Exercice 1 Écrire chacun des nombres suivants sous la forme e^k, où k est un entier relatif. a) e^3× e^5 b) (e^7)/(e^2) c) (e^2)^4 d) e^(-3)× e^6 e) ((e^3)^2×…
Exercice 2 Simplifier les expressions suivantes, où x désigne un réel quelconque. a) e^x× e^2x b) (e^5x)/(e^2x) c) (e^x)^3 d) e^(x+1)× e^(-x) e)…
Exercice 3 Écrire chacune des expressions suivantes sous la forme e^(ax+b), où a et b sont deux réels à préciser. a) e^3x× e^(-2) b) (e^(x-1))^4 c)…
Exercice 4 Développer et réduire les expressions suivantes. 1. A= (e^x+1)^2 2. B= (e^x-1) (e^x+1) 3. C= (e^x+ e^(-x))^2- (e^x- e^(-x))^2 4. D= (e^x+2) (e^x-3)…
Exercice 5 Factoriser les expressions suivantes. a) e^2x+ e^x b) e^2x- e^x c) x e^x+ e^x d) e^2x-1 e) 3 e^x-3 f) x^2 e^x-4 e^x Pour d), on pensera à écrire…
Exercice 6 Démontrer que, pour tout réel x, les égalités suivantes sont vraies. 1. (e^x+ e^(-x))^2= e^2x+2+ e^(-2x) 2. (e^x)/(e^x+1) =1- 1/(e^x+1) 3. 1/(1+…

Exercice 7 Résoudre dans ℝ les équations suivantes. a) e^x= e^3 b) e^(2x+1)= e^5 c) e^(3x-2)= e^(x+4) d) e^x^2= e^(4x-3) e) e^x=1 f) e^2x= e g) e^(-x+1)=…
Exercice 8 Résoudre dans ℝ les équations suivantes. On justifiera à chaque fois l'utilisation de la positivité stricte de l'exponentielle. a) (e^x-1) (e^x-…
Exercice 9 Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes. a) e^x> e^4 b) e^(2x-1)≤ e^(x+2) c) e^x<1 d) e^(-3x+2)≥ e e) e^x^2≤ e^(2x+3) f) e^x≥ e^(-x)
Exercice 10 Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes, en dressant un tableau de signes lorsque c'est nécessaire. 1. (e^x-1) (e^x- e)≥ 0 2. (x-1) e^x<0 3. (e^x-…
Exercice 11 On considère l'équation (E): e^2x-(1+ e) e^x+ e=0. 1. Justifier que, pour tout réel x, e^2x= (e^x)^2. 2. On pose X= e^x. Montrer que (E) équivaut à…
Exercice 12 Résoudre dans ℝ les équations et inéquations suivantes. a) e^2x= e^x b) e^x× e^(x-2)= e^4 c) (e^x)^2= e^(x+2) d) e^(x+1)≤ 1/(e^x) e) (e^2x)/(e^3) >…

Exercice 13 1. Comparer les nombres suivants, sans calculatrice, en justifiant par le sens de variation de la fonction exponentielle. (a) e^2 et e^3 (b) e^(-1)…
Exercice 14 Ci-dessous est tracée la courbe C de la fonction exponentielle, ainsi que sa tangente T_0 au point d'abscisse 0. 1. Lire graphiquement une valeur…
Exercice 15 On note C la courbe représentative de la fonction exponentielle. 1. Rappeler la dérivée de la fonction exponentielle, ainsi que la valeur de e^0. 2.…
Exercice 16 Déterminer le signe de chacune des expressions suivantes, selon les valeurs du réel x. a) e^x-1 b) e^x- e^2 c) 1- e^(-x) d) (x-1) e^x e) (e^x)/(x+2)…

Exercice 17 Déterminer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, en précisant à chaque fois la fonction u utilisée dans la formule (e^u)'=u' e^u. a) f(x)=…
Exercice 18 Déterminer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, définies sur ℝ sauf mention contraire. On factorisera le résultat par une exponentielle.…
Exercice 19 Pour chacune des fonctions suivantes, définies sur ℝ: calculer la dérivée, la factoriser, étudier son signe, puis dresser le tableau de variations…
Exercice 20 Dans chaque cas, déterminer une équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a. a) f(x)= e^2x et a=0 b) f(x)=x e^x et a=0 c) f(x)=…
Exercice 21 Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)= (x^2-3) e^x. 1. Démontrer que pour tout réel x, f'(x)=(x+3)(x-1) e^x. 2. Étudier le signe de f'(x) sur ℝ.…
Exercice 22 Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=(x+2) e^(-x). 1. Démontrer que pour tout réel x, f'(x)=-(x+1) e^(-x). 2. Dresser le tableau de variations…

Exercice 23 · QCM Pour chaque question, une seule réponse est exacte. La justifier.
Exercice 24 · Vrai ou faux Chacune des affirmations suivantes est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse: par une démonstration si l'affirmation est vraie, par un…
Exercice 25 · Type Bac Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=(x-1) e^x. On note C sa courbe représentative. 1. Démontrer que pour tout réel x, f'(x)=x e^x. 2. Étudier…
Exercice 26 · Type Bac Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)= (x^2+1) e^(-x). 1. Démontrer que pour tout réel x, f'(x)=-(x-1)^2 e^(-x). 2. Justifier que f'(x)≤ 0 pour…
Exercice 27 Une tasse de café est sortie d'une machine à 80 °C et posée dans une pièce dont la température est de 20 °C. On admet que la température du café,…
Exercice 28 Sur le graphique ci-dessous sont tracées quatre courbes, représentant dans le désordre les fonctions définies sur ℝ par: x↦ e^x; x↦ e^(-x); x↦ e^2x;…
Exercice 29 L'objectif de cet exercice est de démontrer que la courbe de la fonction exponentielle se situe toujours au-dessus de sa tangente au point…
Exercice 30 Soit m un réel. On considère la fonction f_m définie sur ℝ par: f_m(x)=(x+m) e^x 1. Démontrer que pour tout réel x, f_m'(x)=(x+m+1) e^x. 2. Étudier…