Exercice 6

1. On développe le membre de gauche : $$\left(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}=\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2} +2\underbrace{\mathrm{e}^{x}\mathrm{e}^{-x}}_{=\,\mathrm{e}^{0}=1}+\left(\mathrm{e}^{-x}\right)^{2} =\boxed{\mathrm{e}^{2x}+2+\mathrm{e}^{-2x}}$$

2. Le dénominateur $\mathrm{e}^{x}+1$ est toujours strictement positif, car $\mathrm{e}^{x}>0$ : il ne s'annule jamais et l'expression est bien définie sur $\mathbb{R}$. On part du membre de droite : $$1-\frac{1}{\mathrm{e}^{x}+1}=\frac{\mathrm{e}^{x}+1}{\mathrm{e}^{x}+1}-\frac{1}{\mathrm{e}^{x}+1} =\boxed{\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}}$$

3. Les deux dénominateurs $1+\mathrm{e}^{-x}$ et $1+\mathrm{e}^{x}$ sont strictement positifs, donc non nuls. On multiplie le numérateur et le dénominateur du membre de gauche par $\mathrm{e}^{x}$, qui est non nul : $$\frac{1}{1+\mathrm{e}^{-x}}=\frac{1\times\mathrm{e}^{x}}{\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)\times\mathrm{e}^{x}} =\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+\underbrace{\mathrm{e}^{-x}\mathrm{e}^{x}}_{=\,1}} =\boxed{\frac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{x}}}$$