Exercice 7

La fonction exponentielle étant strictement croissante sur $\mathbb{R}$, on a $\mathrm{e}^{a}=\mathrm{e}^{b}\iff a=b$ : il suffit donc d'identifier les exposants.

a) $\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{3}\iff x=3$ : $\boxed{S=\{3\}}$

b) $2x+1=5\iff 2x=4$ : $\boxed{S=\{2\}}$

c) $3x-2=x+4\iff 2x=6$ : $\boxed{S=\{3\}}$

d) $x^{2}=4x-3\iff x^{2}-4x+3=0$. Le discriminant vaut $\Delta=16-12=4$, d'où les racines $\dfrac{4-2}{2}=1$ et $\dfrac{4+2}{2}=3$ : $\boxed{S=\{1\,;3\}}$

e) $\mathrm{e}^{x}=1=\mathrm{e}^{0}\iff x=0$ : $\boxed{S=\{0\}}$

f) $\mathrm{e}^{2x}=\mathrm{e}^{1}\iff 2x=1$ : $\boxed{S=\left\{\dfrac{1}{2}\right\}}$

g) $-x+1=2x-5\iff 6=3x$ : $\boxed{S=\{2\}}$

h) $x^{2}-1=0\iff(x-1)(x+1)=0$ : $\boxed{S=\{-1\,;1\}}$