Exercice 8

L'argument central est le suivant : pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{x}>0$, donc un facteur exponentiel ne peut jamais être nul et se « simplifie » dans une équation produit nul.

a) Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul : $$\mathrm{e}^{x}-1=0 \; \text{ou} \; \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}=0 \iff \mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{0} \; \text{ou} \; \mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{1}$$

b) Comme $\mathrm{e}^{x}\neq 0$, le produit est nul si et seulement si $x-2=0$ : $\boxed{S=\{2\}}$

c) On factorise d'abord : $x^{2}\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{x}\left(x^{2}-1\right)$. Comme $\mathrm{e}^{x}\neq 0$ : $$x^{2}-1=0 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{S=\{-1\,;1\}}$$

d) $\mathrm{e}^{x+1}\neq 0$, donc $2x-1=0$ : $\boxed{S=\left\{\dfrac{1}{2}\right\}}$

e) Le dénominateur $\mathrm{e}^{x}+2$ est strictement positif, donc jamais nul : le quotient est nul si et seulement si son numérateur l'est. $$\mathrm{e}^{x}-1=0 \iff \mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{0} \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{S=\{0\}}$$

f) On peut factoriser par $\mathrm{e}^{x}$, ou plus simplement écrire $\mathrm{e}^{2x}=\mathrm{e}^{x+3}$ et identifier les exposants : $$2x=x+3 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{S=\{3\}}$$