Exercice 9

La fonction exponentielle étant strictement croissante, on a $\mathrm{e}^{a}<\mathrm{e}^{b}\iff a<b$ : les inégalités entre exposants se transmettent dans le même sens.

a) $x>4$ : $\boxed{S=\left]4\,;+\infty\right[}$

b) $2x-1\leqslant x+2\iff x\leqslant 3$ : $\boxed{S=\left]-\infty\,;3\right]}$

c) $\mathrm{e}^{x}<\mathrm{e}^{0}\iff x<0$ : $\boxed{S=\left]-\infty\,;0\right[}$

d) $-3x+2\geqslant 1\iff -3x\geqslant -1$. En divisant par $-3$, qui est négatif, l'inégalité change de sens : $$x\leqslant\frac{1}{3} \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{S=\left]-\infty\,;\frac{1}{3}\right]}$$

e) $x^{2}\leqslant 2x+3\iff x^{2}-2x-3\leqslant 0$. Le trinôme a pour racines $-1$ et $3$, et son coefficient dominant est positif : il est donc négatif entre les racines. $$\boxed{S=[-1\,;3]}$$

f) $x\geqslant -x\iff 2x\geqslant 0$ : $\boxed{S=\left[0\,;+\infty\right[}$