ExercicePremière, chapitre 8 — Fonction exponentielle · Équations et inéquations

Exercice 10

Calcul

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes, en dressant un tableau de signes lorsque c'est nécessaire.

1. $\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}\right)\geqslant 0$

2. $(x-1)\mathrm{e}^{x}<0$

3. $\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{2}\right)(x+3)\leqslant 0$

4. $\mathrm{e}^{x}\left(x^{2}-4\right)>0$

Corrigé

1. Le premier facteur s'annule en $0$ , le second en $1$ . Comme l'exponentielle est croissante, $\mathrm{e}^{x}-1$ est négatif pour $x<0$ et positif pour $x>0$  ; de même $\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}$ est négatif pour $x<1$ et positif pour $x>1$ .

\boxed{S=\left]-\infty\,;0\right]\cup\left[1\,;+\infty\right[}

2. Comme $\mathrm{e}^{x}>0$ , le produit est du signe de $x-1$ : $(x-1)\mathrm{e}^{x}<0 \iff x-1<0 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{S=\left]-\infty\,;1\right[}$

3. Le facteur $\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{2}$ s'annule en $2$ , le facteur $x+3$ s'annule en $-3$ .

\boxed{S=[-3\,;2]}

4. Comme $\mathrm{e}^{x}>0$ , le produit est du signe de $x^{2}-4=(x-2)(x+2)$ , qui est positif à l'extérieur des racines : $\boxed{S=\left]-\infty\,;-2\right[\cup\left]2\,;+\infty\right[}$

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Dans l'édifice

L'exponentielle, réciproque du logarithme

Thèmes

fonction exponentielle, équations et inéquations

Notions

exponentielle