Exercice 11

1. D'après la règle $\left(\mathrm{e}^{a}\right)^{n}=\mathrm{e}^{na}$ appliquée avec $a=x$ et $n=2$ : $$\boxed{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}=\mathrm{e}^{2x}}$$

2. En posant $X=\mathrm{e}^{x}$, on a $\mathrm{e}^{2x}=X^{2}$ et $\mathrm{e}^{x}=X$, donc : $$\boxed{(E) \iff X^{2}-(1+\mathrm{e})X+\mathrm{e}=0}$$

3. Pour $X=1$ : $$1^{2}-(1+\mathrm{e})\times 1+\mathrm{e}=1-1-\mathrm{e}+\mathrm{e}=0$$ Pour $X=\mathrm{e}$ : $$\mathrm{e}^{2}-(1+\mathrm{e})\times\mathrm{e}+\mathrm{e}=\mathrm{e}^{2}-\mathrm{e}-\mathrm{e}^{2}+\mathrm{e}=0$$

4. L'équation du second degré ayant au plus deux solutions, ce sont les seules. On revient alors à $x$ : $$\mathrm{e}^{x}=1=\mathrm{e}^{0} \; \Longrightarrow \; x=0 \qquad ; \qquad \mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}=\mathrm{e}^{1} \; \Longrightarrow \; x=1$$

5. On pose de même $X=\mathrm{e}^{x}$ : l'équation devient $X^{2}-\left(\mathrm{e}+\mathrm{e}^{2}\right)X+\mathrm{e}^{3}=0$. On vérifie que $X=\mathrm{e}$ et $X=\mathrm{e}^{2}$ conviennent : $$\mathrm{e}^{2}-\left(\mathrm{e}+\mathrm{e}^{2}\right)\mathrm{e}+\mathrm{e}^{3}=\mathrm{e}^{2}-\mathrm{e}^{2}-\mathrm{e}^{3}+\mathrm{e}^{3}=0$$

$$\mathrm{e}^{4}-\left(\mathrm{e}+\mathrm{e}^{2}\right)\mathrm{e}^{2}+\mathrm{e}^{3}=\mathrm{e}^{4}-\mathrm{e}^{3}-\mathrm{e}^{4}+\mathrm{e}^{3}=0$$ D'où $\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{1}$ ou $\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{2}$ : $$\boxed{S=\{1\,;2\}}$$

On remarquera que ces équations ont été choisies pour que les solutions en $X$ soient des puissances entières de $\mathrm{e}$ : dans le cas général, revenir à $x$ nécessiterait la fonction logarithme, étudiée en Terminale.