Exercice 12

a) $2x=x\iff x=0$ : $\boxed{S=\{0\}}$

b) $\mathrm{e}^{x}\times\mathrm{e}^{x-2}=\mathrm{e}^{2x-2}$, donc $2x-2=4$ : $\boxed{S=\{3\}}$

c) $\mathrm{e}^{2x}=\mathrm{e}^{x+2}$, donc $2x=x+2$ : $\boxed{S=\{2\}}$

d) $\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}}=\mathrm{e}^{-x}$, donc l'inéquation devient $\mathrm{e}^{x+1}\leqslant\mathrm{e}^{-x}$, c'est-à-dire $x+1\leqslant -x$, soit $2x\leqslant -1$ : $$\boxed{S=\left]-\infty\,;-\frac{1}{2}\right]}$$

e) $\dfrac{\mathrm{e}^{2x}}{\mathrm{e}^{3}}=\mathrm{e}^{2x-3}$, donc $2x-3>x$, soit $x>3$ : $$\boxed{S=\left]3\,;+\infty\right[}$$

f) $-x\geqslant x^{2}\iff x^{2}+x\leqslant 0\iff x(x+1)\leqslant 0$. Le trinôme a pour racines $-1$ et $0$, il est négatif entre les racines : $$\boxed{S=[-1\,;0]}$$