Exercice 13

1. La fonction exponentielle étant strictement croissante sur $\mathbb{R}$, elle conserve l'ordre : comparer $\mathrm{e}^{a}$ et $\mathrm{e}^{b}$ revient à comparer $a$ et $b$.

(a) $2<3$ donc $\boxed{\mathrm{e}^{2}<\mathrm{e}^{3}}$

(b) $-2<-1$ donc $\boxed{\mathrm{e}^{-2}<\mathrm{e}^{-1}}$

(c) $\sqrt{2}\approx 1{,}41<1{,}5$ donc $\boxed{\mathrm{e}^{\sqrt{2}}<\mathrm{e}^{1,5}}$

(d) $\pi\approx 3{,}14>3$ donc $\boxed{\mathrm{e}^{\pi}>\mathrm{e}^{3}}$

(e) L'exponentielle est strictement positive : $\boxed{\mathrm{e}^{-3}>0}$

(f) Par définition, $\boxed{\mathrm{e}^{0}=1}$

La question e) ne relève pas de la croissance mais de la stricte positivité : un exposant négatif ne rend jamais l'exponentielle négative.

2. On range d'abord les exposants, en remarquant que $1=\mathrm{e}^{0}$ : $$-2<-1<0<0{,}5<3$$ La croissance de l'exponentielle donne alors : $$\boxed{\mathrm{e}^{-2}<\mathrm{e}^{-1}<1<\mathrm{e}^{0,5}<\mathrm{e}^{3}}$$ Numériquement : $0{,}14<0{,}37<1<1{,}65<20{,}09$.