Exercice 14

1. On lit les ordonnées des points de $\mathcal{C}$ d'abscisses $1$, $-1$ et $2$ : $$\boxed{\mathrm{e}\approx 2{,}7 \qquad ; \qquad \mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}4 \qquad ; \qquad \mathrm{e}^{2}\approx 7{,}4}$$

2. Le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $0$ a pour ordonnée $1$. $$\boxed{\mathrm{e}^{0}=1}$$ C'est la condition $f(0)=1$ qui caractérise l'exponentielle dans la proposition 1 du cours.

3. On lit les abscisses des points de $\mathcal{C}$ d'ordonnée $4$, puis ceux dont l'ordonnée est inférieure ou égale à $2$ : $$\boxed{\mathrm{e}^{x}=4 \text{ pour } x\approx 1{,}4} \qquad ; \qquad \boxed{\mathrm{e}^{x}\leqslant 2 \text{ pour } x\lesssim 0{,}7}$$ Autrement dit $S\approx\left]-\infty\,;0{,}7\right]$ pour l'inéquation.

4. La courbe reste toujours au-dessus de l'axe des abscisses, dont elle se rapproche sans jamais l'atteindre lorsque $x$ devient très négatif. $$\boxed{\mathcal{C} \text{ ne coupe pas l'axe des abscisses, car } \mathrm{e}^{x}>0 \text{ pour tout } x}$$

5. La droite $T_{0}$ passe par $(0\,;1)$ et par $(1\,;2)$ : en avançant de $1$, on monte de $1$, donc son coefficient directeur vaut $1$. $$\boxed{T_{0} : y=x+1}$$ Par le calcul : la tangente au point d'abscisse $0$ a pour équation $y=f'(0)(x-0)+f(0)$. Or $f'=f=\exp$, donc $f'(0)=f(0)=1$ : $$y=1\times x+1=x+1$$

6. Sur toute la fenêtre, la courbe se situe au-dessus de la droite, les deux ne se touchant qu'en un seul point. $$\boxed{\mathcal{C} \text{ semble toujours au-dessus de } T_{0}, \text{ avec contact au point } (0\,;1)}$$ Cette conjecture est démontrée à l'exercice 29.