Exercice 15

1. La fonction exponentielle est sa propre dérivée, et vaut $1$ en $0$ : $$\boxed{\exp'=\exp \qquad \text{et} \qquad \mathrm{e}^{0}=1}$$

2. La tangente au point d'abscisse $a$ a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$. Pour $a=0$, avec $f(0)=f'(0)=1$ : $$\boxed{T_{0} : y=x+1}$$

3. Pour $a=1$, avec $f(1)=f'(1)=\mathrm{e}$ : $$y=\mathrm{e}(x-1)+\mathrm{e}=\mathrm{e} x-\mathrm{e}+\mathrm{e} \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{T_{1} : y=\mathrm{e} x}$$ Cette tangente passe donc par l'origine.

4. Pour $a=-1$, avec $f(-1)=f'(-1)=\mathrm{e}^{-1}$ : $$y=\mathrm{e}^{-1}(x+1)+\mathrm{e}^{-1} \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{T_{-1} : y=\mathrm{e}^{-1}x+2\mathrm{e}^{-1}}$$ Numériquement, $y\approx 0{,}37x+0{,}74$.

5. Voici la figure.

On observe que les trois tangentes restent toutes en dessous de $\mathcal{C}$, ne la touchant qu'en leur point de contact.